[理学]7近代几何学的发展.ppt

7.3.2非欧几何的发展——黎曼几何（三）黎曼几何 二、黎曼的空间概念 第一：n维流形 n维连续流形——区域关系（拓扑理论） n维离散流形——度量关系（度量理论） 第二：n维流形的测度关系 其中(gij)是正定二次型，其特殊情况为：（*） 7.3.2非欧几何的发展——黎曼几何（三）黎曼几何 三、《关于几何基础的假设》中的唯一公式 对（*）所对应的n维流形，当其曲率α为常数时，它的常曲率α流形的线元为： （**） 四、三种几何学的划分 α0 黎 曼 几 何 （**）中 α=0 欧 氏 几 何 α0 罗巴切夫几何 7.3.2非欧几何的发展——黎曼几何（三）黎曼几何 四、三种几何学的划分 三角形的内角和π 黎曼几何 0≤三角形的内角和π 罗巴切夫几何 三角形的内角和=π 欧氏几何 7.3.2非欧几何的发展——黎曼几何（三）黎曼几何 五、发展 1861年，另一篇黎曼现代微分几何的论文《论热传 导问题》递交巴黎科学院。其中论述了常曲率空间的 充分必要条件。 7.3.2非欧几何的发展——黎曼几何（三）黎曼几何 六、影响与应用 张量分析 大范围微分几何 数学物理 近现代物理学 广义相对论的数学基础 7.4 摄影几何的繁荣 （一）彭色列（Poncelet,1788--1867）的贡献 （二）施坦纳（Steiner,1796--1863）的贡献 7 近代几何学的发展 （三）巴斯卡与布里安桑（Brianchon,1783--1864）的贡献 7.4 摄影几何的繁荣 7.5 几何学的统一 克莱因 ﹝ C. F. Klein, Christian Felix, 1849-1925﹞ 7 近代几何学的发展 （一）生平 （二）著名的《爱尔朗根纲领》 7.5 几何学的统一 Projective geometry has opened up for us with the greatest facility new territories in our science, and has rightly been called a royal road to its own particular field of knowledge. 射影几何以最大的简便为我们打开了我们科学中的新领域，它恰如其分地被称为通往它自己的独特知识领域的最佳道路。 1872年10月，发表著名的《爱尔朗根纲领》——《新近几何学的比较考察》 7.5 几何学的统一 （三）平面变换之间的关系 平面射影变换： 平面仿射变换： 平面抛物变换： 平面正交变换： 7.5 几何学的统一 （四）变换群之间的关系： 正交群 ? 相似群 ? 仿射群 ? 射影群 7.5 几何学的统一 （五）几种几何之间的关系 思考题 一、《几何原本》中的第五公设对数学的发展有什么影响？ 二、非欧几何创立的原因与背景什么？ 三、非欧几何分别是由谁创立的？ * 7.近代几何学的发展 7 近代几何学的发展 7.1 欧几里得平行公设 7.2 非欧几何的诞生——罗巴切夫斯基几何 7.3 非欧几何的确认与发展——黎曼几何 7.4 摄影几何的繁荣 7.5 几何学的统一 7 近代几何学的发展 7.1 欧几里得平行公设 （一）欧几里得第五公设 7.1 欧几里得平行公设 （二）欧几里得平行公设 （三）欧几里得平行第五公设或平行公设的试证 7.1 欧几里得平行公设 7.2 非欧几何的诞生——罗巴切夫斯基几何 Gauss的工作（1799） 波尔约（Bolyai）的工作（1832） 罗巴切夫斯基的贡献 数 学 王 子 高斯（Gauss, Carl Friedrich, 1777-1855） （一）生平 （二）主要贡献 一、数学 （1)数论 高斯的数论研究 ,总结在《算术研究》（1801） 中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是 数论方面的划时代之作，也是数学的经典著作。 Mathematics is the Queen of the Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics. -- Gauss (2)代数学 对代数学的重要贡献是先后三次（1815，1816， 1849）严密证明了代数基本定理，另有两次（1797， 1798的博士论文）证明，他的存在性证明开创了数学 研究的新途径。 （二）主要贡献 一、数学 （二）主要贡献 一、数学 (3)非欧几何 fe