[理学]8-4 多元复合函数的求导法则上课用.ppt

备用题 2. 练习 P73题 11 * §8.4 复合函数求导法则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 则复合函数 对 x 的导数为 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元 复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？ 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如 它是由 复合而成的 由于 f 没有具体给出 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。 一、复合函数求导法则 证 推广1：推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数. 推广2： 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况： 经常将函数, 中间变量, 自变量之间的关系用图表示. 称为变量关系图. 复合法则如图示 这两个公式的特征: (1) 函数z=f[?(x, y), ?(x, y)]有两个自变量x和y, 故 法则中包含 两个公式; (2) 由于在函数复合过程中有两个中间变量u和v, 故, 法则中每一个公式都是两项之和, 这两项分别含有 (3) 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似, 即“函数对中间变量的偏导数乘以中间变量对自变量的偏导数”. 多元复合函数的求导法则简言之即: “分道相加, 连线相乘”. 特殊地 其中 即 令 两者的区别 的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键 仍是复合函数 且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同 关于多元复合函数求偏导问题 这是一项基本技能, 要求熟练掌握, 尤其是求二阶偏导数, 既是重点又是难点. 对求偏导公式不求强记, 而要切实做到彻底理解. 注意以下几点将会有助于领会和理解公式, 在解题时自如地运用公式. ① 用图示法表示出函数的复合关系; ② 清楚函数对某个自变量的偏导数的结构(项数及项的构成); ③ 求抽象函数的偏导数时, 一定要设中间变量; ④ 注意引用这些公式的条件: 外层函数可微(偏导数连续)内层函数偏导数存在. ⑤ fuv, fvu的合并问题视题设条件而定. ⑥ 弄清 fu(u, v)和fv(u, v)的结构是求抽象的复合函数二阶偏导数的关键, 即fu(u, v)和fv(u, v)仍是复合函数, 且复合结构与f(u, v)完全相同, 即fu(u, v)和fv(u, v)仍是以u, v为中间变量, 以x, y为自变量的复合函数. 因此求它们关于x, y 的偏导数时必须使用链式法则. 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 二、全微分形式不变性 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理 从而为解题带来很多方便，而且也不易出错 例5: 设u=f(x, y, z), y=?(x, t), t =?(x, z), 各函数满足求偏导的条件, 求 解一: 复合函数变量间的关系图: 则 而 所以 这里变量间的关系比较混乱 用全微分来解 由全微分定理 注意到 x , z 是独立自变量 解二 由全微分定义 注 解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错 故 三、小结 1、复合法则（分三种情况） （特别要注意课中所讲的特殊情况） 2、全微分形式不变性 （理解其实质） 练 习 题 练习题答案 作业 P31 2; 4; 6; 8(2),(3); 9; 10; 12(4) P73 5 ; 6(2) 1. 已知 求 解: 由 两边对 x 求导, 得 求 在点 处可微 , 且 设函数 解: 由题设 (2001考研) *