[理学]9-1二重积分的概念与性质.ppt

的最大值M与最小值m之间的. 由闭区域上连续函数的介值定理. 两端各乘以 点的值 证毕. 即是说, 确定的数值 是介于函数 在D上至少存在一点 使得函数在该 与这个确定的数值相等,即 选择题 (A) (B) (C) (D) 提示: B 是有界闭区域D: 上的 连续函数, 不存在. 利用积分中值定理. 利用积分中值定理, 解 即得: 由函数的连续性知, 显然, 其中点 是圆域 内的一点. 补充 在分析问题和算题时常用的 设区域D关于x轴对称, 如果函数 f(x, y)关于坐标y为偶函数. o x y D1 性质7 则 D1为D在第 一象 限中的部分, 对称性质 坐标y为奇函数 则 设区域D关于x轴对称, 如果函数 f (x, y)关于 设f(x, y)关于y为偶函数, D1 o x y 证 则 ? ? 得 坐标y为奇函数 自证! 则 设区域D关于x轴对称, 如果函数 f(x,y)关于 这个性质的几何意义如图: O x y z O x y z 区域D关于x轴对称 f(x,y)关于坐标y为偶函数 区域D关于x轴对称 f(x,y)关于坐标y为奇函数 如果函数 f(x,y)关于坐标x为奇函数 o x y D1 如果函数 f(x,y)关于坐标x 则 为偶函数 则 类似地, 设区域D关于y轴对称, 且D1为D在 第一象限中的部分, 设D为圆域(如图) 0 0 D1为上半圆域 D2为右半圆域 解 由性质得 例 为顶点的三角形区域, (A) (B) (C) (D) 0. A 1991年研究生考题 D1是D在第一象限的部分, D1 D2 D3 D4 记 I= 则I= I1+ I2, 其中 I1= I2= 而 I1 = D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称 xy关于x和关于y都是奇函数 而 I2 = 是关于x的偶函数, 关于y的奇函数. 所以 D1 D2 D3 D4 今后在计算重积分利用对称性简化计算时, 注意 被积函数的奇偶性. 积分区域的对称性, 要特别注意考虑两方面: 思考 当f为关于x且关于y的偶函数时： 当f为关于x或关于y的奇函数时： 0 4 Di是区域D位于第i(i=1,2,3,4)象限的区域 设区域 关于x轴、y轴均对称, 函数 f(x, y)在D上可积，则 若D为 此式的几何意义是:中心在原点的上半球的体积等于它在第一卦限内的体积的4倍. 0 D1为 x≥0, y ≥0, 则 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） （和式的极限） 四、小结 练 习 题 练习题答案 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． * 第九章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分 重积分是定积分的推广和发展.其同定积分一样也是某种确定和式的极限,其基本思想是四步曲: 分割、取近似、求和、取极限. 定积分的被积函数是一元函数,其积分区域是一个确定区间. 而二重、三重积分的被积函数是二元、三元函数,其积分域是一个平面有界闭区域和空间有界闭区域. 重积分有其广泛的应用. 三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 一、问题的提出 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法. 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体