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[理学]ch12-4函数展开成幂级数 [兼容模式]
第第四节节
函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内
求 和
和函数
展展 开开
本节内容本节内容:
一、、泰勒泰勒 (( TaylorTaylor )) 级数级数
二、函数展开成幂级数
一、泰勒( Taylor ) 级数
若函数 的某邻域内具有n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有该邻域内有 ::
ff ((x)) ff ((x00 )) ff ((x00 )()(x x00 )) f (x0 ) ((xx xx00 ))2
2 !
f (n) (x0 ) n
((x x00 )) RRnn ((xx))
n !
此式称为f (x) 的n 阶泰勒公式 ,
其中
f (n1) () n1
RRn ((xx)) ((xx xx0 )) (( 在在 xx 与与xx0 之间之间))
(n 1) !
称为称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .
若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 ) 2
( )
f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) x x0
22 !!
f (n) (x0 ) n
(x x0 )
nn !!
为f (x) 的泰勒级数 .
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
待解决的问题待解决的问题:
1)) 对此级数,, 它的收敛域是什么 ？
（可展开的条件？）
2)2) 在收敛域上在收敛域上 ,, 和函数是否为和函数是否为ff ((xx)) ??
（展开式是否唯一）
定理1 . 设函数f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有
各阶导数, 则f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件条件是是 ff ((xx)) 的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足::
lim Rn (x) 0 .
n
定理定理22 设设 ff ((xx )) 在在 UU((xx )) 上上 有有 定定 义义 , MM 00 , 对对
0
x (x0 R ,
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