[理学]ch5-3基本积分法.ppt

例5 求 解 令 说明(3) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例6 求 令 解 例7 求 解 令 （分母的阶较高） 说明(4) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例8 求 解 令 基本积分表 ? 2. 定积分换元法 定理 注意：应用公式（*）时，换元必换限。 证明： 设F(x)是f(x)的一个原函数，则 又令 由复合函数求导法，得 例1 计算 解 令 例2 计算 解 例3 计算 解 原式 例4 计算 解 令 原式 * * 三、微积分第二基本定理 1.问题的提出 求变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，求物体在[T1, T2] 这段 时间内所经过的路程. （1）已知速度 v = v(t), v(t)是时间间隔 [T1, T2] 上t的一个连续函数，且 ，则物体在[T1, T2] 时间内所经过的路程为： 故有 = s(T2) - s(T1) （2）已知路程 s = s(t) , s(t)是时间间隔 [T1, T2] 上t的一个连续函数，则物体在[T1, T2] 时间内所经过的路程为 s(T2) - s(T1) 注 2.微积分第二基本定理 注 (2)公式为计算定积分提供了一种非常有效的方法. 证明 例1 计算下列定积分 例2 解 o x y 依题意，所求面积为 y = sinx 例3 计算定积分 第5.3节 基本积分法 一、换元积分法 1.不定积分换元积分法 2.定积分换元积分法 1.不定积分分部积分法 2.定积分分部积分法 二、分部积分法 三、有理函数的积分 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 一、换元积分法 1. 不定积分换元积分法 (1)第一类换元积分法（凑微分法） 在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理 第一类换元积分公式 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同. 定理1 例1 求 解（一） 解（二） 解（三） 例2 求 解 一般地 例3 求 解 例4 求 解 例5 求 解 例6 求 解 例7 求 解 例8 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. 例9 求 解 例10 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形） 解（二） 类似地可推出 解 例11 设 求 . 令 例12 求 解 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用“凑微分”即可求出结果） (2)第二类换元积分法 证 设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理2 第二类换元积分公式 例1 求 解 令 例2 求 解 令 例3 求 解 令 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. 说明(2) 例4 求 （三角代换很繁琐） 令 解 * * *