[理学]hzf第3章——平面问题的直角坐标解答2.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * §3-4 简支梁受均布载荷 设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡，如图3-5所示。取单位厚度的梁来考虑，可视为平面应力问题。 解: 本问题宜采用半逆解法。 由于 将由q引起,而q又不随x变化,因此可假设 只是 y的函数： 图3-5 则： 对 积分，得： 再积一次分，得： 其中， 、 是 y 的任意函数，待定。 （a） （b） 图3-5 现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，求出： 将以上结果代入相容方程： 相容条件要求该二次方程有无数的根(全梁内的任意x值都应该满足)，所以它的系数项和自由项都必须等于零。即： 前面两个方程要求： （c） 第三个方程可得： （d） 将式（c）和（d）代入式（b），得应力函数： （e） （b） 相应的应力分量为： （f） （g） （h） （e） 这些应力分量肯定已满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件都满足，除非系数A、B、C … 等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。 因为 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于 yz面。这样， 和 应当是 的偶函数，而 应当是 的奇函数。于是由式（f）和（h）可见： 对称性的应用 图3-5 代入上式应力分量表达式，三个应力分量变为： （i） 整理得： （一）考察上下两边的边界条件 图3-5 由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得： 将上面所得常数代入应力分量表达式（i），得： （k） （l） （j） 图3-5 （二）考察左右两边的边界条件 由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑右边界： （m） （n） 将式（j）代入式（m），得： 图3-5 积分，得： 将式（j）代入式（n），得： 积分，得： 图3-5 将式 （l）代入，上式已满足： 另一方面，在梁的右边切应力应满足： 将H 和K 代入式（j），得： （p） 图3-5 将式 （p）、（k）、（l）整理，得应力分量： （q） 图3-5 将材料力学中的相关值求出后,上式（q）可以改写为： 在 的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计。对于较深的梁，则需注意修正项。 的最大绝对值是 ，发生在梁顶。在材料力学中，一般不考虑这个应力分量。 和材料力学里完全一样。 各应力分量沿铅直方向的变化大致如图3-6所示。 图3-6 [习题3-5]设有矩形截面的竖柱，其密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q (取单位厚度)，如图1，试求应力分量。 解： 1.采用半逆解法，设 。导出 使其满足双调和方程： 图1 y取任意值时，上式都应成立，因而有： 图1 式中， 中略去了常数项， 中略去了 的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。 2.含待定常数的应力分量为： （2） （1） 3.利用边界条件确定常数，并求出应力解答： 能自然满足： 能自然满足： 图1 （3） 不能精确满足，只能近似满足： 图1 由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量： （4） 图1 O y l x [例题2] 如图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为： ，求简支梁的应力分量（体力不计）。 1 h O y l x 1 h 解： 1、由满足相容方程确定系数A与B的关系： 2、含待定系数的应力分量为 O y l x 3、由边界条件确定待定系数： O y l x (3) 由以上式子可求得： O y l x O y l x 再考虑左右边界: 由此可解得： 4、应力分量为 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *