[理学]lec13 n维向量空间.ppt

向量空间V：Rn的非空子集, 且对线性运算封闭 在R3中不经过原点的直线与平面都不是向量空间. 在R3中经过原点的直线与平面都构成向量空间. 例8. 设A?Rm?n, b?Rm, b?0, r(A, b) = r(A) = r, SB = {x ?Rn | Ax = b} 中不含0, 不是向量空间. KA = {x ?Rn | Ax = 0} ?x1, x2?KA, A(x1+x2) = Ax1+Ax2=0 ? k?R, A(kx1) = kAx1= 0, 是向量空间. 注1：向量空间必包含0向量 . 反之, 若一向量集不含0, 则它必不构成向量空间. 称为A的核空间或零空间. 第四章 n维向量 §4.1 n维向量空间 向量空间V：Rn的非空子集, 且对线性运算封闭 4. 设?1, ?2, …, ?s?Rn, 用L(?1, ?2, …, ?s)表示 ?1, ?2, …, ?s的一切线性组合所成的集合, L(?1,?2,…,?s) = {k1?1+k2?2+…+ks?s| k1,k2,…,ks?R} 则L(?1, ?2, …, ?s)构成一个向量空间, 称为由?1, ?2, …, ?s生成的子空间. 而?1,?2,…,?s为生成元. ?向量空间S, 若S?{?1, ?2, …, ?s}，则S??1,…,?s的所有线性组合，即S?L(?1,?2,…,?s) 第四章 n维向量 §4.1 n维向量空间 注1：生成的子空间是包含{?1, ?2, …, ?s}的所有向量空间中最小的. 向量空间V：Rn的非空子集, 且对线性运算封闭 4. 设?1, ?2, …, ?s?Rn, 用L(?1, ?2, …, ?s)表示 ?1, ?2, …, ?s的一切线性组合所成的集合, L(?1,?2,…,?s) = {k1?1+k2?2+…+ks?s| k1,k2,…,ks?R} 则L(?1, ?2, …, ?s)构成一个向量空间, 称为由?1, ?2, …, ?s生成的子空间. 而?1,?2,…,?s为生成元. 注1：生成的子空间是包含{?1, ?2, …, ?s}的所有向量空间中最小的. 注2：?1, ?2, …, ?s与?1, ?2,…,?t 等价 ? L(?1, ?2, …, ?s) = L(?1, ?2,…,?t). 第四章 n维向量 §4.1 n维向量空间 向量空间V：Rn的非空子集, 且对线性运算封闭 L(?1,?2,…,?s) = {k1?1+k2?2+…+ks?s| k1,k2,…,ks?R} 4. 由?1,?2, …, ?s生成的子空间: 注2：?1, ?2, …, ?s与?1, ?2,…,?t 等价 ? L(?1, ?2, …, ?s) = L(?1, ?2,…,?t). 注3:设矩阵A?Rn?s, 称L(A1,A2,…,As)为A的列空间. L(A1,A2,…,As) ={x1A1+x2A2+…+xsAs| x1,x2,…,xs?R} = {Ax | x?Rs } = {??Rn | x?Rs, Ax=?} =R(A)(值域) 注4: 线性方程组 Ax = b有解 ? b?R(A). 第四章 n维向量 §4.1 n维向量空间 ? 能由向量组 I:?1, ?2, …, ?s线性表示 II:?1, …,?t能由I线性表示? 矩阵方程AX=B 有解. I与II等价? 矩阵方程 AX=B, BY=A都有解. 等价的向量组(相同个数)构成的矩阵必等价(相抵). §4.1 n维向量空间 ? r(A) =r(A, ?) ? Ax =? 有解. ? ? ?R(A) ?L(?1,?2,…,?s)=L(?1,?2,…,?t) ?r(A)=r(A,B)=r(B) 向量空间V：Rn的非空子集, 且对线性运算封闭 A的核空间或零空间: KA = {x ?Rn | Ax = 0} L(?1,?2,…,?s) = {k1?1+k2?2+…+ks?s| k1,k2,…,ks?R} (A) 填空题选择题：作为课下练习 (B) 留作业 每周二交作业 (C) 课下提高题：有时间的话尽量做 预习：4.2节 (A) 1(1) (B) 2,3,4,5 * 向量空间V：Rn的非空子集, 且对线性运算封闭:即任意多个元素的任意线性组合都在这个向量集合中。 * * 生成的子空间是包含{?1, ?2, …, ?s}的所有向量空间中最小的：对任意包含{?1, ?2, …, ?s}的向量空间V,必包含这些元素的线性组合，而这些线性组合恰构成了生成子空间。 * 生成的子空间是包含{?1, ?2, …, ?s}的所有向量空间中最小的：对任意包含{?1, ?2, …, ?s}的向量空间V,必包含这些元素的线性组合，而