[理学]《应用多元分析》第三版PPT第三章.ppt

§3.5 和(n ? 1)S的抽样分布 一、 的抽样分布 二、 (n ? 1)S的抽样分布 一、 的抽样分布 1.正态总体 设x~Np (μ, Σ), Σ0 ，x1,x2, ?,xn是从总体x中抽取的一个样本，则 2.非正态总体（中心极限定理）  设x1,x2, ?,xn是来自总体x的一个样本，μ和Σ存在，则当n很大且n相对于p也很大时，上式近似地成立。 第三章 多元正态分布 §3.1 多元正态分布的定义 §3.2 多元正态分布的性质 §3.3 复相关系数和偏相关系数 §3.4 极大似然估计及估计量的性质 §3.5 和(n ? 1) S的抽样分布 *§3.6 二次型分布 §3.1 多元正态分布的定义 一元正态分布N(μ,σ2)的概率密度函数为 若随机向量 的概率密度函数为 则称x服从p元正态分布，记作x~Np (μ, Σ)，其中，参数μ和Σ分别为x的均值和协差阵。 例3.1.1（二元正态分布 ） 设x~N2(μ, Σ)，这里 易见，ρ是x1和 x2的相关系数。当|ρ|1时，可得x的概率密度函数为 二元正态分布的密度曲面图 下图是当 时二元正态分布的钟形密度曲面图。 二元正态分布等高线 等高（椭圆）线： 上述等高线上的密度值 二元正态分布的密度等高线族（使用SAS/INSIGHT，由10000个二维随机数生成） §3.2 多元正态分布的性质 *（1）略。 （2）设x是一个p维随机向量，则x服从多元正态分布，当且仅当它的任何线性函数 均服从一元正态分布。 性质（2）常可用来证明随机向量服从多元正态分布。 （3）设x~N p (μ, Σ)，y=Cx+b其中C为r×p 常数矩阵，则 该性质表明，（多元）正态变量的任何线性变换仍为（多元）正态变量。 例3.2.2 设x~Np (μ, Σ)，a为p维常数向量，则由上述性质（2）或（3）知， （4）设x~Np (μ, Σ)，则x的任何子向量也服从（多元）正态分布，其均值为μ的相应子向量，协方差矩阵为Σ的相应子矩阵。 该性质说明了多元正态分布的任何边缘分布仍为（多元）正态分布。 需注意，随机向量的任何边缘分布皆为（多元）正态分布未必表明该随机向量就服从多元正态分布。例2.2.2就是这样的一个反例。 还需注意，正态变量的线性组合未必就是正态变量。 这是因为： x1,x2, ?,xn均为一元正态变量 ?(?)x1,x2, ?,xn的联合分布为多元正态分布 ?x1,x2, ?,xn的一切线性组合是一元正态变量 例3.2.4 设x~N4(μ, Σ)，这里 则 （i） ； （ii） ； （iii） 。 §3.2 多元正态分布的性质 （5）设x1,x2, ?,xn相互独立，且xi~N p (μi, Σi) ，i=1,2,?,n，则对任意n个常数，有 此性质表明，独立的多元正态变量（维数相同）的任意线性组合仍为多元正态变量。 （6）设x~N p (μ, Σ)，对x, μ, Σ(0)作如下的剖分： 则子向量x1和x2相互独立，当且仅当Σ12=0。 该性质指出，对于多元正态变量而言，其子向量之间互不相关和相互独立是等价的。 （7）设x~N p (μ, Σ), Σ0，则 例3.2.5 设x~N3(μ,Σ)，其中 则x2和x3不独立，x1和(x2,x3)独立。 *（8）略 *（9）略 *（10）略 （11）设x~N p (μ, Σ), Σ0，作如下剖分 则给定x2时x1的条件分布为 ，其中 μ1·2和Σ11·2分别是条件数学期望和条件协方差矩阵，Σ11·2通常称为偏协方差矩阵。 这一性质表明，对于多元正态变量，其子向量的条件分布仍是（多元）正态的。 例3.2.7 设x~N3(μ, Σ)，其中 试求给定x1+2x3时 的条件分布。 §3.3 复相关系数和偏相关系数 一、复相关系数 二、偏相关系数 一、复相关系数 （简单）相关系数度量了一个随机变量x1与另一个随机变量x2之间线性关系的强弱。 复相关系数度量了一个随机变量x1与一组随机变量x2, ?,xp之间线性关系的强弱。 将x, Σ(0)剖分如