[理学]不定积分.ppt

按常规方法解: 第一步 令 比较系数定 a , b , c , d . 得 第二步 化为部分分式 . 即令 比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁 ! 例. 求 解： 令 原式 例. 求 解: 设 则 因 连续 , 得 记作 得 利用 注： 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 . 因此不一 定都能积出. 例如 , * 运行时, 点击按钮“作业”, 可布置作业, 结束本次课. * 运行时, 点击“本题按常规方法解很繁”, 或按钮 “常规”, 将显示常规方法接替步骤, 并自动返回. 第四章 不定积分 知识总结 一. 不定积分的基本概念、性质 二. 不定积分的计算 利用基本积分公式直接积分法 第一换元法 第二换元法 分部积分法 有理函数积分 一. 不定积分的基本概念、性质 原函数的定义、存在性问题 不定积分的定义 不定积分的性质 1. 原函数的定义、存在性问题 原函数: 原函数存在性: 区间上的连续函数一定存在原函数 2.不定积分的定义 不定积分: 注: 已知原函数的两种用法: 3. 不定积分的性质 例. 若 的导函数为 则 的一个原函数 是 ( ) . 提示: 已知 求 即 B ? ? 或由题意 其原函数为 例. 设 解: 为 的原函数, 且 求 由题设 则 故 即 , 因此 故 又 例. 已知 求 解: 两边求导, 得 则 (代回原变量) 1.利用基本积分公式直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 二. 不定积分的计算 关键: 把被积表达式g(x)dx通过拆、拼、凑的方法改写积分为 拆：分母为两因式相乘； 拼：含指数函数等类型; 凑： 2. 第一换元法: 例. 求 解: 原式 例. 求 解: 令 比较同类项系数 , 故 ∴ 原式 说明: 此技巧适用于形为 的积分. 例. 求 解: 原式= 分析: 例. 求 提示: 3. 第二换元法: (1) 根式代换: 根号下x的次数为一次 (2) 三角代换: 根号下x的次数为二次 (3) 倒代换: 分母中因子次数较高 注： 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 (代换: ) 令 令 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 令 (1) 根式代换: 例. 求 解: 令 则 原式 (2) 三角代换: (3) 倒代换: 分母中因子次数较高 例. 求不定积分 解： 利用凑微分法 , 原式 = 令 得 例. 求 解: 原式 = 原式 例. 求 解: 令 则 原式 当 x 0 时, 类似可得同样结果 . (1) 使用原则 : 易求出, 易积分 (2) 题目类型 : 直接用公式: 选择u的一般次序—反对幂三指 4. 分部积分法： 积分相消 循环解出:分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,解出积分后加 C ,常含三角函数) 递推公式:对含自然数 n 的积分, 通过分部积分 建立递推公式 . 例. 求 解 : 原式 分部积分 例. 求 解: 令 则 法二： 例. 求 解： 例. 设 证: 证明递推公式: 例： 求不定积分 解： 方法1 (先分部 , 再换元) 令 则 方法2 (先换元,再分部) 令 则 故 例. 求 解 先换元后分部 令 即 则 故 有理函数=多项式+有理真分式（再分解为部分分式之和） 三角函数有理式积分 5. 有理函数积分 几种特殊类型的积分 有理函数 分解 多项式及 部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 例. 求 解: 原式 注意本题技巧 按常规方法较繁 * 运行时, 点击按钮“作业”, 可布置作业, 结束本次课. * 运行时, 点击“本题按常规方法解很繁”, 或按钮 “常规”, 将显示常规方法接替步骤, 并自动返回.