[理学]中国科技大学研究生课程《固体物理》讲义 研-3-2.ppt

晶格自由能为： 系统的总配分函数： 其中 是表征频率随体积变化的量，设与?j无关。 晶格状态方程： —— Grüneisen const. ?与晶格振动的非简谐性有关 二、热膨胀 热膨胀指的是在不加压的情况下，晶体体积随温度升高而增大的现象。 令p = 0，有： 平衡时： 对于大多数固体，温度变化时，其体积变化不大，因此可将 在静止晶格的平衡体积V0展开 只保留?V的一次项，有： 为静止晶格的压缩模量 当温度变化时，上式右边主要是振动能发生变化，对温度求微商可得体积膨胀系数： —— Grüneisen定律 对许多固体材料的测量结果证实了Grüneisen定律， ?的值一般在1~2之间。 * §3.6 晶格热容 一、晶格振动对热容的贡献 在一定温度下，频率为?j的简谐振子的统计平均能量： 第j个简谐振子的能量本征值： 其中 —— 平均声子数 在一定温度下，晶格振动的总能量为： 将对?j的求和改为积分 —— 晶体的零点能 —— 与温度有关的能量 g(?)：晶格振动的模式密度， ?m：截止频率 晶格热容： g(?)d? ：频率在?－?＋d?之间的振动模式数 二、晶格热容模型 Dulong－Petit定律 经典统计理论的解释：能量均分定理 Dulong－Petit定律：在常温下大多数固体的热容量差不多 都等于6 cal/mol·K 一摩尔晶体的振动能为： 经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热容的实验结果。 困难：低温下晶格热容的实验值明显偏小，且当T?0时， CV ?0，经典的能量均分定理无法解释。 2. Einstein模型 在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为： 假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都 以同一频率?0振动。 即： 定义 Einstein温度： 高温下：T ?E 即 在低温下：T ?E 即 当T?0时，CV ?0，与实验结果定性符合。 根据Einstein模型，T?0， 但实验结果表明， T?0 ， CV ∝T3; Einstein模型金刚石热容量的实验数据 3. Debye模型 假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看 成连续介质的弹性波。 这表明，在q空间中，等频率面为球面。 为简单，设横波和纵波的传播速度相同，均为c 。 在?－?＋d?之间晶格振动的模式数为 由 ?m 定义Debye温度： 对于大多数固体材料： ?D?102 K 230 2230 119 1440 1250 165 282 428 225 ?D (K) Hg Gd Ge Ga Fe Cu Cr Co Cd 元素 71.9 200 374 320 470 343 630 445 209 ?D (K) Ni Na Mo Mn Mg La Li K Ir 元素 450 Ca 158 金刚石 450 Bi 410 Be 400 B 142 Au 344 As 91 Al 108 Ag ?D (K) 元素 作变换： 在高温下：T ?D，即 在低温下：T ?D，即 利用Taylor展开式： 利用积分公式： 这表明，Debye模型可以很好地解释在很低温度下晶格热容CV ∝ T3的实验结果。 由此可见，用Debye模型来解释晶格热容的实验结果是相当成功的，尤其是在低温下，温度越低，Debye近似就越好。 几种材料晶格热容量理论值与实验值的比较 ?T qy qx ?m qm qT 在非常低的温度下，由于短波声子的能量太高，不会被热激发，而被“冷冻”下来。所以 的声子对热容几乎没有贡献；只有那些 的长波声子才会被热激发，对热容量有贡献。 在q空间中，被热激发的声子所占的体积比约为 由于热激发，系统所获得的能量为： CV ∝ T3必须在很低的温度下才成立，大约要低到T~?D/50，即约10 K以下才能观察到CV随T3变化。 Debye模型在解释晶格热容的实验结果方面已经证明是相当成功的，特别是在低温下， Debye理论是严格成立的。但是，需要指出的是Debye模型仍然只是一个近似的理论，仍有它的局限性，并不是一个严格的理论。 In的Debye温度?D随温度的变化 三、模式密度g(?) dS dq? qx qy 0 在q空间中，处在?－?