[理学]代数模型2.ppt

代数模型 * 利用线性代数等知识去解决一些实际问题,使大家体会向量空间等抽象概念怎样运用到解决实际问题的过程中去。 1 植物基因的分布 设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA、Aa和aa。研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代.问经过若干年后,这种植物的任意一代的三种基因型分布如何? 基因对确定了植物的特征. 在常染色体的遗传中,后代是从每个亲本的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对(基因型). 在我们所研究的问题中,植物的基因对为AA、Aa、aa这3种. 记： x1(n)—第n代中基因型AA的植物占植物总数的百分比 x2(n)—第n代中基因型Aa的植物占植物总数的百分比 x3(n)—第n代中基因型aa的植物占植物总数的百分比 显然 x1(n) + x2(n) + x3(n)=1 后代分别从父体或母体的基因对中等可能的得到一个基因而形成自己的基因对, 父母代的基因对和子代各基因对之间的转移概率如下表 育种方式： AA型 其它基因型 后代 故第n代与n-1代植物的基因型分布的关系为： 则第n代与n-1代植物的基因型分布的关系为： Ln 的计算： 利用线性代数中对角化的方法将L对角化,即求出可逆矩阵P 和对角矩阵D,使得 从而有 利用特征值和特征向量的方法求得 从而得 将Ln代入(2)得 即在极限状态下所有植物的基因型都是AA型. 2 森林管理 森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售.为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获,每当砍伐一棵树时,应该就地补种一棵幼苗,使森林树木的总数保持不变.被出售的树木,其价值取决于树木的高度.开始时森林中的树木有着不同的高度. 问在维持收获的前提下,如何砍伐树木,才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值? 把森林中的树木按照高度分为n类: 第k类:(1≤k＜n)高度为[hk-1,hk］, 每颗的经济价值为pk, 其中 第1类: 幼苗,高度为[０，h1］, p1=0, 第n类: 高度为[hn-1，∞), 假设 每年对森林中树木砍伐一次, 留下的树木和补种的幼苗,经过一年的生长期后, 与上一次砍伐前的高度状态相同。（根据保持持续收获的要求） 2.在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级,即第k类的树木可能进入k+1类,也可能停留在k类中. 3.树木没有死亡 记 xk(t),k= 1,2,…,n 是第t年第k类树木的数量. yk, k= 1,2,…,n 是第k类树木被砍伐的数量. 设gk是经过一年从第k类中长高到第k+1类中的树 木比例,0 gk 1 则 1-gk是经过一年仍然留在第k类中的树木比例. 设森林中树木的总数是s,即 x1(t)+x2 (t)+…+xn (t)=s （3） 其中s是根据土地数量预先确定的数. 由前面的分析,引入 生长矩阵 高度向量 收获向量 种植矩阵 则有砍伐后树木生长方程： 根据假设（1），树木的生长满足平衡关系: 生长期末的状态-收获采伐的量后+补种的幼苗 = 生长期开始的量,即 满足(3)，(5)的解就是维持森林持续稳定收获的可行解. 由于幼苗无经济价值,不采伐,所以取y1=0. 由(5)得 (6) 收获树木的价值为: 问题归结为： 利用线性规划的理论与方法可以得出最优解为： 砍伐某一类高度的树木而不砍伐其余树木。 下面进一步讨论砍伐哪一类树木. 设被砍伐的树木为第k类,则有 由(6)、 (7)得 (7) 将上式代入(3)得 所以 于是得 例:已知森林具有6年的生长期, g1=0.28,g2=0.32,g3=0.25,g4=0.23,g5=0.37, p2=50元,p3=100元,p4=150元,p5=200元,p6=250元. 求出对其进行最优采伐的策略. f2=14.0s, f3=14.7s, f4 =13.9s f5 =13.2s, f6 =14.0s 比较这5个值得f3最大,故全部收获第三类的树木收获最大,收益值为14.7s,其中s为森林中所能生长的树木的总数。 * * * * *