[理学]复变函数ppt第三章.ppt

积分按逆时针方向,沿曲线 C进行,C是包含单位圆周|z|=1的任意一条光滑闭曲线. 0 x y 1 思考1 完 由定义知:若F(z)是f(z)在D上的原函数,则 F(z)在D上解析. 设函数f(z)是定义在复平面z上区域D 内的一个函 数,如果存在函数F(z),在D上成立 则称函数F(z)是f(z)D上的一个原函数. 原函数什么时候存在呢？ 原函数、牛顿-莱布尼兹公式 原函数 设w=f(z) 在单连通区域D内解析,则由 (Th3-1) 定理3 定义的函数F(z)在D内解析,且 参考证明 完 设w=f(z) 在单连通区域D内解析, 是f(z) 的任一原函数,那么 (N-L) 定理只适应于单连通区域上的解析函数的积分! 定理4 牛顿－莱布尼兹公式 完 参考证明 例5 page51 完 参考解答 例6 page51 参考解答 page59 exe 完 提示： 思考2 完 第三节　柯西积分公式、解析函 数的高阶导数公式 例5 高阶导数公式 exe 结束 柯西积分公式 教学要求 例1 例4 例2 引言 exe 例3 思考 教学要求 完 ◆掌握柯西积分公式； ◆掌握高阶导数公式； ◆知道解析函数无限次可导的性质. 教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用 “理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用 “熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述. 引 言 完 本节介绍的柯西积分公式可以帮助我们研究解析函数的局部性质,它反映课解析函数在其解析区域边界上的值与区域内部各点处值之间的关系—解析函数的重要特征！ 利用柯西积分公式可以证明解析函数具有任意阶的导数！这是解析函数的又一重要特征. 柯西积分公式 若f(z) 是区域D内的解析函数,C为区域D 内的简单闭曲线,C所围的内部全部含于D内,z为 C内部的任一点,则 (3-14) 定理1 参考证明 (1)柯西积分公式给出了解析函数的积分表达式. (2)柯西积分公式反映了解析函数在其解析区域 边 界上的值与区域内部各点处值之间的关系:即函数 f(z)在边界曲线C上的值一旦确定,则它在C内部任 一点处的值也随之确定. (3)特别当C为圆周时,解析函数在圆心处的 函数值等于它在圆周上的平均值.即 完 完 page53 例1 参考证明 page53 0 x y i 3i 例2 C 参考解答 完 * * * 第三章　复变函数的积分 柯西积分公式、解析函数的高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系 结束 柯西—古萨定理 复变函数积分的概念 引言 第三章总结与习题 引 言 完 本章主要介绍柯西积分定理和柯西积分 公式,它们是整个解析函数理论的基础.后面 的几章都会或多或少地用到本章的知识点. 微分法和积分法是研究函数性质的重 要方法,解析函数理论中的许多重要性质用 积分的方法很容易得到. 第一节　复变函数的积分概念 复变函数积分的性质 复积分与实积分的关系 结束 复变函数积分的定义 教学要求 引言 exe 例1 例2 例3 ◆理解复变函数积分的概念; ◆了解复变函数积分性质； ◆ 会求复变函数的积分. 教学要求 完 教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用 “理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用 “熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述. 复变函数积分的定义 有向曲线 记从A B的方向为正向(C) 记从B A的方向为负向(C-) 若A与B重合, C的方向规定: 逆时针方向为正(＋), 顺时针方向为负(－). y 0 x A(起点) + － B(终点) A(B) － ＋ 复积分 如图: 设C是一条光滑或分段 光滑的有向曲线 ,在沿AB的方 向在C上依次取分点： 这n个分点将C有向曲线分成n个小弧段, 在每个小弧 段上任取一点 ,作和式 (1) y 0 x A B(终点) z0 z1 z2 zn zn-1 记? 为 n 个小弧段的最大长度， 当? 0时, 若不论对曲线 C 的分法和点 的选取, Sn的极限存在,则称函数f(z)沿曲线C可积.并称这个极限值为 函数f(z)沿曲线C的积分,记作 其中f(z)称为被积函数 , f(z)dz称为被积表达式. 若曲线C为闭曲线,则记为 性质1. 线性性 设f(z),g(z)沿曲线C连续,则有下列与微积分中的曲线积分相类似的性质: 性质2. 对路径的可加性 复变函数积分的性质 性质