第2章 逻辑代数的基础.ppt

* * * * * * * 2.4 逻辑函数化简 实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的逻辑表达式的复杂性直接相关。一般说，逻辑函数表达式越简单，设计出来的相应逻辑电路也就越简单。 为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对逻辑函数进行化简。 由于“与-或”表达式和“或-与”表达式可以很方便地转换成任何其他所要求的形式。因此，从这两种基本形式出发讨论函数化简问题，并将重点放在“与-或”表达式的化简上。 逻辑函数化简有2种常用方法：代数化简法、卡诺图化简法。 2.4.1 代数化简法 代数化简法就是运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行化简的方法。 无固定的步骤可以遵循，主要取决于对逻辑代数中公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。 一、“与-或”表达式的化简 最简“与-或”表达式应满足两个条件： 1．表达式中的“与”项个数最少； 2．在满足上述条件的前提下，每个“与”项中的变量个数最少。 满足上述两个条件可以使相应逻辑电路中所需门的数量以及门的输入端个数均为最少，从而使电路最经济。 化简举例 例1 化简 解： 例2 化简 解： 例3 化简 解 二、“或-与”表达式的化简 最简“或-与”表达式应满足两个条件： 1．表达式中的“或”项个数最少； 2．在满足上述条件的前提下，每个“或”项中的变量个数最少。 用代数化简法化简“或-与”表达式可直接运用公理、定理中的“或-与”形式进行化简。 　　当对公理、定理中的“或-与”形式不太熟悉时，可以采用两次对偶法。具体如下： 　 第一步：对“或-与”表达式表示的函数F求对偶，得到“与-或”表达式F’； 　　第二步：求出F’的最简“与-或”表达式； 　　 第三步：对F’再次求对偶,即可得到F的最简“或-与” 表达式。 例如，化简 解 例如，化简 第二步：化简F’ ； 第三步：对F‘求对偶, 得到F的最简“或-与”表达式 解：第一步：求F的对偶式F’； 归纳： 　　代数化简法的优点是：不受变量数目的约束；当对公理、定理和规则十分熟练时，化简比较方便。 　　缺点是：没有一定的规律和步骤，技巧性很强，而且在很多情况下难以判断化简结果是否最简。 2.4.2 卡诺图化简法 　卡诺图化简法的优点：简单、直观、容易掌握。 一、卡诺图的构成 　　卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。 　　构造特点：　　(1) n个变量的卡诺图由2n个小方格构成；　　(2) 几何图形上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。 　　卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，但任何一种排 列方案都必须具备以上特点。 　2变量、3变量、4变量卡诺图如图(a)、(b)、(c)所示： m3 m1 m2 m0 A B 0 1 1 0 ( a ) 0 m5 m4 m7 m6 m3 m1 m2 m0 1 00 01 11 10 AB C ( b ) m10 m14 m6 m2 m11 m15 m7 m3 m9 m8 m13 m12 m5 m1 m4 m0 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 ( c ) 　　例如，四变量卡诺图中，每个最小项有4个相邻最小项。 m5的4个相邻最小项分别是哪些？ 　　m2的4个相邻最小项？ m2和m10( 同一行的两端)，这种相邻称为相对相邻。 m10 m14 m6 m2 m11 m15 m7 m3 m9 m8 m13 m12 m5 m1 m4 m0 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 　 在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。 10 14 6 2 11 15 7 3 9 8 13 12 5 1 4 0 26 30 22 18 27 31 23 19 25 24 29 28 21 17 20 16 00 01 11 10 000 001 011 010 100 101 111 110 ABC DE ( d ) 5变量卡诺图 　　此外， 处在“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。这种相邻称为重叠相邻。 注意：卡诺图在构造上具有以下两个特点！ (1)