[理学]插值课件1.ppt

第 2 章 插 值 法 2.1 引 言 2.2 拉格朗日插值 2.2.2 拉格朗日插值多项式 2.2.3 插值余项与误差估计 2.3 均差与牛顿插值公式 2.3.2 牛顿插值公式 2.4 差分与等距节点插值 2.4.2 等距节点插值公式 由（2.18）, 其中 于是 这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样， 这说明查表时用二次插值精度已相当高了. （2.18） 截断误差限 2.3.1 均差及其性质 利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公 式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减 时全部插值基函数 均要随之变化，整个 公式也将发生变化. （3.1） 其中 为待定系数， 确定 . 为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于 计算的形式: 可由 个插值条件 当 时， 当 时， 依此递推可得到 . 当 时， 推得 推得 由 ， 由 称 为函数 关 于点 的一阶均差. 称为 的二阶均差. 定义2 （3.2） 一般地，称 为 的 阶均差 （均差也称为差商）. 均差有如下的基本性质： （3.3） 这个性质可用归纳法证明. 1° 阶均差可表示为函数值 的线 性组合， 这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差 的对称性. 即 3° 若 在 上存在 阶导数，且节点 （3.5） 这公式可直接用罗尔定理证明. 2° 由性质1°及（3.2）可得 即 则 阶均差与导数关系如下： （3.4） （3.2） 均差计算可列均差表如下（表2-1）. 根据均差定义，把 看成 上一点， 可得 只要把后一式代入前一式，就得到 其中 （3.6） （3.7） 是由（2.10）定义的. 显然，由（3.6）确定的多项式 满足插值条件， 且次数不超过 ， 称 为牛顿（Newton）均差插值多项式. 系数 就是均差表2-1中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计. 其系数为 它就是形如（3.1）的多项式， （2.10） （3.6） （3.1） 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点给出的情形或 导数不存在时也是适用的. （3.7）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与 拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加 插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项 即可. （3.7） 首先根据给定函数表造出均差表. 给出 的函数表（见表2-2），求4次牛顿插 值多项式，并由此计算 的近似值. 例2 从均差表看到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0. 故取4次插值多项式 做近似即可. 于是 按牛顿插值公式，将数据代入 截断误差 这说明截断误差很小，可忽略不计. 实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式 可以进一步简化，计算也简单得多. 2.4.1 差分及其性质 设函数 在等距节点 上 的值 为已知，这里 为常数，称为步长. 为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念. 记号 （4.1） （4.2） （4.3） 定义3 分别称为 在 处以 为步长的向前差分，向后差分 及中心差分. 符号 ， ， 分别称为向前差分算子，向后差分算子 及中心差分算子. 利用一阶差分可定义二阶差分为 一般地可定义 阶差分为 中心差分 用到了 及 这两个值，但它们并 不是函数表上的值. 如果用函数表上的值，一阶中心差分应写成 这样，二阶中心差分为 除了已引入的差分算子外，常用的算子符号还有不变算 子 及移位算子 ， 于是，由 定义如下： 可得 同理可得 * （1.1） 设函数