[理学]概率论与数理统计第04章随机变量的数字特征第1讲.ppt

第四章 随机变量的数字特征 第1讲 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性. 但在一些实际问题中, 不需要去全面考虑随机变量的变化情况, 而只需知道随机变量的某些特征, 因而并不需要求出它的分布函数. §1 数学期望 定义 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk, k=1,2,....若级数 绝对收敛, 则称此级数的和为随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即 设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 若积分 绝对收敛, 则称此积分的值为随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即 例1 甲乙二人打靶, 所得分数分别记为X1,X2, 它们的分布律分别为 试评定他们成绩的好坏. 解 计算X1,X2的数学期望为 E(X1)=0?0+1?0.2+2?0.8=1.8(分) E(X2)=0?0.6+1?0.3+2?0.1=0.5(分) 很明显乙的成绩远不如甲的成绩. 例2 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命Xk(k=1,2)服从同一指数分布, 其概率密度为 若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求整机寿命(以小时计)N的数学期望. 解 Xk(k=1,2)的分布函数为 由第三章§5(5.8)式N=min(X1,X2)的分布函数为 因而N的概率密度为 于是N的数学期望为 例3 按规定, 某车站每天8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立, 其规律为 解 设旅客的候车时间为X(以分计), X的分布律为 在上表中, 例如 候车时间的数学期望为 例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式, 记使用寿命为X(以年计), 规定: X?1, 一台付款1500元; 1X?2, 一台付款2000元; 2X?3, 一台付款2500元; X3, 一台付款3000元.设寿命X服从指数分布, 概率密度为 试求该商店一台收费Y的数学期望. 解 先求出寿命X落在各个时间区间的概率, 一台收费Y的分布律为 例5 在一群体中普查某种疾病, 为此要抽检N个人的血, 可以用两种方法进行. (1)将每个人的血分别去验, 这就需要验N次. 解 各人的血呈阴性反应的概率为q=1-p. 因而k个人的混合血呈阴性反应的概率为qk及呈阳性反应的概率为1-qk.设以k个人为一组时, 组内每人平均化验次数为X, 则X是一随机变量, 其分布律为 X的数学期望为 N个人平均需化验的次数为 当p固定时, 选取k使得 小于1且取到最小值, 这时就能得到最好的分组方法. 例如, p=0.1, 则q=0.9, 当k=4时, 例7 设X~U(a,b), 求E(X).解 X的概率密度为 X的数学期望为 定理 设Y是随机变量X的函数, Y=g(X)(g是连续函数).(1) X是离散型, 分布律为P{X=xk}=pk, k=1,2,..., (2) X是连续型, 概率密度为f(x). 若 此定理还可推广到两个以上随机变量的函数.例如, 设Z=g(X,Y)(g是连续函数), 若(X,Y)的概率密度为f(x,y), 则有 这里设上面的积分绝对收敛. 又若(X,Y)为离散型随机变量, P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,..., 则有 例8 设风速V在(0,a)上服从均匀分布, 即具有概率密度 又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数, W=kV2(k0, 常数), 求W的数学期望. 解 由(1.4)式有 例9 设随机变量(X,Y)的概率密度 解 由(1.5)式得 例10 某公司计划开发一种新产品, 并要确定产品的产量. 评估出售一件产品可获利m元, 而积压一件产品导致n元损失. 预测销售量Y(件)服从指数分布, 其概率密度为 问若要获得利润的数学期望最大, 应生产多少件产品(m,n,q均为已知)? 解 设生产x件, 则获利Q是x的函数: Q是随机变量, 是Y的函数, 其数学期望为 数学期望的几个重要性质: (假设所提随机变量的数学期望存在).(1) 设C是常数, 则E(C)=C.(2) 设X是一个随机变量, C是常数, 则有 E(CX)=CE(X). 例11 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).解 引入随机变量 易知 X=X1+X2+...+X10. 现在来求E(X). 按题意, 任一旅客在第i站不下车的概率为9/10. 由此 进而 例12 设一电路中电流I(A)与电阻R(W)是两个相互独立的随机变量, 其概率密度为 试求电压V=IR的均值. 解 §2 方 差 由此可