[理学]概率论与数理统计第14讲.ppt

作业： 思考：为什么？ 结论： 标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) ? 0, 则称 为 X 的标准化随机变量. 显然， * 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的. §4.3 随机变量的方差 例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近， 所以乙炮的射击效果好. 中心 中心 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们下面要介绍的 方差 设随机变量X的数学期望为E(X), 若E(X-E(X))2存在, 则称它为X 的方差（此时，也称X的方差存在)，记为Var(X) 或D(X) , 即 定义 称Var(X) 的算术平方根 为X的标准差或均方差，记为? (X). A. 方差的概念 Var (X)=E(X-E(X))2 若X的取值比较分散，则方差较大. 刻划了随机变量的取值相对于其数学期望 的离散程度。 若X的取值比较集中，则方差较小； Var(X)=E[X-E(X)]2 方差 注意： 1) Var(X)?0，即方差是一个非负实数。 2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。 方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个 特征。 方差的计算公式 (1)若 X 为离散型，概率分布为 (2)若 X 为连续型，概率密度为 f (x), 则 则 方差的计算公式 常用的公式： 证明: 常见随机变量的方差 (1) 参数为p 的 0－1分布 概率分布为： 前面已经计算过：E(X)=p，又 所以 概率分布为： 已计算过：E(X)=np，又 所以 (2)二项分布B(n, p) 概率分布为： 已计算过：E(X)=λ，又 所以 (3)泊松分布P(λ) 概率密度为： 已计算过：E(X)=(a+b)/2，又 所以 (4)区间[a,b]上的均匀分布U[a,b] 概率密度为： 已计算过：E(X)=1/λ，又 所以 (5) 指数分布E(λ) 概率密度为： 已计算过：E(X)= ? ，所以 (6) 正态分布N(?,? 2) 例1 返回主目录 例1（续） 乙的平均环数为 例1（续） 这说明乙的射击水平比甲稳定 例2. 设 求 E (Y ), D(Y ). 解: 例3. 已知X的密度函数为 其中 A，B 是常数，且 E(X) = 0.5. 求 A，B. (2)设 Y=X2, 求 E(Y) , D(Y). 解: (1) (2) 性质1: 若X=C，C为常数，则 Var(X)=0 . B 方差的性质 若b为常数,随机变量X的方差存在，则bX的方差存在，且 Var(bX) = b2Var(X) 性质2: Var (aX + b ) = a2 Var(X) 结合性质1与性质2就有 若随机变量X1,X2,…,Xn的方差都存在， 则X1+X2+...+Xn的方差存在，且 若随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，则 性质4: n＝2时就有 性质3: Var(X?Y)= Var(X) +Var(Y) ?2E(X-EX)(Y-EY) Var(X?Y)= VarX +VarY 若X, Y独立， 一般地 证： 若 X,Y 独立，则 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)=0 故 注：以后若无特殊说明，都认为随机变量的方差大于0。 性质5: 对任意常数C, Var(X ) ? E(X – C)2 , 等号成立当且仅当C = E(X ). 性质6: Var(X ) = 0 P (X = E(X))=1 称X 以概率 1 等于常数E(X). 例4. 设X ~ B( n , p)，求Var(X ). 解： 引入随机变量 故 则 由于 相互独立， 且 则 例5. 设X1, X2, …, Xn相互独立，有共同的期望 和方差 ， 证明: 例6.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1， 令Y= X1+X2+…+Xn .求 E(Y2). 解：由已知，则有 因此， 例7.设随机变量X和Y相互独立，且 X～N(1,2), Y～N(0,1), 试求 Z=2X-Y+3 的期望和方差。 由已知，有E(X)=1, D(X)=2,