[理学]概率论第二十次课.ppt

设总体 ， 为其样 本，试证下列三个估计量都是 的无偏估计； 并指出其中哪个最有效。 证明： 又 都是 的无偏估计。 又 则 最有效。 开始 作业：P216 16 18 一、复习： 1、统计学中是以什么标准来评价一个估计量的？ 无偏性 有效性 一致性 2、什么是置信区间？ 对 有 什么是区间的置信度？ 如何进行未知参数的区间估计？ 求置信区间的一般步骤如下: 1. 明确问题： 置信水平 是多少? 是求什么参数的置信区间? 确定其分布 ， 的适当的函数 ， ， ， 选择一个样本 . 2 2 1 n X X X L ) ; , , , ( 2 1 q n X X X U U L = ) ( 查表 ， 1 . 3 对给定的置信度 a - 1 } { 使 a - = b U a P ， 确定常数 b a 的分布， 根据 U 二、单个正态总体的均值与方差的区间估计： 例1、某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠 直径X服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个 测得直径为14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 求总体均值置信度为0.95 解： 若总体 方差 和0.99的置信区间。 时， 则置信区间为： 时， 则置信区间为： 置信度大，置信区间的长度就大。 样本容量相同的条件下， 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2,样 解： 例2、设总体为正态分布 ，为使得 本容量应为多大？ 由题意知 的0.95置信区间为： 其区间长度为： 例3、设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以 小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3， 5.6，6.1，5.0 设干燥时间总体服从正态分布 求 的置信度为0.95的置信区间。 解： 的置信度为0.95的置信区间为： 事实上，取 对给定的置信度 , 确定分位数 使 从中解得 ). 05 . 0 ( = a 2 s 的置信区间 方差 ，试求 若零件长度 测量其长度，得 16 . 4 个， 零件中随机抽取 从自动车床加工的某种 例 ) , ( ~ 2 s m N X , 0024 . 0 2 = s , 8 . 12 = x 例5、为了确定某种溶液中的甲醛浓度，取4个独 立的实测值的平均值 ，样本的标准差 现已知甲醛浓度服从正态分布，求总 标准差 的置信度为95％的置信区间。 解： 的置信度为0.95的置信区间为： 需要指出的是, 给定样本, 给定置信度, 置信区间 对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. 不是唯一的. 例7、某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观 察了30天,其总金额的平均值是170元，标准差为30 元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计 （置信水平为0.95）. 解： 且 未知， 由 则所求的置信区间为： 即 解二： 设每天职工的总医疗费为X，则 大样本，由中心极限定理， 未知，用样本标准差S近似代替. 近似服从正态分布 使 故均值 的置信水平为 的区间估计为 对给定的置信水平 , 确定分位数 的置信度为0.95的置信区间为： (159.27, 180.74). 取 近似N(0,1)分布 所以后一种结果更优。 两种结果谁最优？ 只需看谁的置信区间长度短 区间长度为：21.47 前一种的区间为： 区间长度为：22.4042 后一种的区间为： (159.27, 180.74). 所估 参数 条件 估计函数 置信区间 已知 未知 未知 正态总体参数的区间估计 例6、一台自动车床加工零件长度X服从 正态分布 从该车床加工的零件中随机 抽取4个，测得长度分别为：12.6, 13.4, 12.8, 13.2。试求：1）样本方差 2)总体方差 的置信度为95%的置信区间。 解： 开始 而 则 的置信区间为： 抽取样本 例7、设总体 求 的置信度 为0.95的置信区间； 1）已知 为样本均值， 解： 则 而 的置信区间为： m \ 2)已知 问：要使 的置信度为0.95 的置信区间长度不超过5，样本容量n至少应取 多大？ 解： 的置信区间长度为： 答：样本容量n至少应取62时，才能使 的置 信度为0.95的置信区间长度不超过5。 二、两个正态总体的区间估计 1、两个总体均值差的置信区间 事实上， 的置信区间为： 的置信度为 a - 1 由第六章第三节的定理2知： 已知 1） 使 即 从中