华中师范大学常微分方程试卷整理.doc

常微分方程整理版~！ 试卷一： 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 如果存在常数_____________对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里 设的某一解，则它的任一解_____________-。 求方程 求方程的通解。 求方程的隐式解。 试卷一答案：1 2、 z= 3 4、 5、 6、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得 代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z= 带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。 此外方程还有解y=0. 7、解： 积分： 故通解为： 8、解：齐线性方程的特征方程为， ，故通解为 不是特征根，所以方程有形如 把代回原方程 于是原方程通解为 试卷二： 1. 在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为． 2. 设在区间上连续．试证明方程 的所有解的存在区间必为 3. 假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若，，则在区间I上必有成立． 试卷二答案1．证明 由已知条件可知，该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 ． 对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义． 若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为． 2. 证明 由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然是方程的两个常数解． 任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为． 3. 证明 仅证方向，（反之亦然）． 假设存在，使得（=不可能出现，否则与解惟一矛盾 令=-，那么 =- 0， =- 0 由连续函数介值定理，存在，使得 =-= 0 即 = 这与解惟一矛盾 ． 试卷三： 设在整个平面上连续可微，且．求证：方程 的非常数解，当时，有，那么必为或． 2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有． 3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在． 试卷三答案： 1.证明 由已知条件，方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。 （2分） 又由已知条件，知是方程的一个解。 （4分） 假如方程的非常数解对有限值有，那么由已知条件，该解在点处可向的右侧（或左侧）延展．这样，过点就有两个不同解和．这与解的唯一性矛盾，因此不能是有限值． 2．证明 设为方程任一解满足，由常数变易法有 于是 = 0 + 3．证明 由已知条件，方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远． 又由已知条件，知是方程的一个解． 且在上半平面，有； 在下半平面，有． 现不妨取点属于上半平面，并记过该点的解为．由上面分析可知，一方面在上半平面单调递减向平面无穷远延展；另一方面又不能穿过轴，否则与唯一性矛盾．故解存在区间必为 试卷