20、解三角形.doc

20、正弦、余弦定理 解斜三角形 一．知识点 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos=sin, sin=cos （2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB S= pr = (其中p=, r为内切圆半径) （3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA 2．正弦定理： 注意：① 正弦定理的一些变式： ； ； ； ② 已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. 3．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ； 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况： bsinAab时有两解； a=bsinA或a=b时有 解； absinA时无解。 如：中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 （答：C）； 5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题： 　　（1）已知三边，求三角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 特别提醒：① 求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性： ； ② 求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 ③ 在中，A＞B。 二、练习一 1．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为 2.(06春上海)在△中，已知，三角形面积为12，则 . 3.（04全国）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列， ∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于 1+ 4．（02年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是 三角形 等腰 5．(06山东)在中，角的对边分别为，已知，则 2 6.（06全国）已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4， 则边BC上的中线AD的长为 . 7、在中， ，则＝_____ （答：）； 8、在中，若其面积，则=____ （答：）； 9、在中，分别是角A、B、C所对的边，若， 则＝____ （答：）； 10、在中，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_______（答：）； 11、在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ， 的最大值为 （答：）； 三、练习二 1.（ 04春北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列， 且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值. 解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac. 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc. 在△ABC中，由余弦定理得 cosA===，∴∠A=60°. 在△ABC中，由正弦定理得sinB=， ∵b2=ac，∠A=60°， ∴=sin60°=. 解法二：在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB. ∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB. ∴=sinA=. 2. 在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状. 解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=， 所以 , 化简得a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形. 3、(2006天津)如图，在中，，，． （1）求的值； （2）求的值. 解（Ⅰ）由余弦定理， ∴ （Ⅱ）由，且得 由正弦定理: 解得。 所以，。由倍角公式 ， 且，故 . 4、如图所示，D是直线三角形△ABC斜边上BC上一点，AB＝AD，记∠CAD=α，∠ABC=β． （1）证明：sinα＋cos2β=0； （2）若，求β的值． 解：（1）∵ ∴ 即sinα＋cos2β＝0 （2）在△ADC中，由正弦定理