多项式例讲解答.doc

【代数十讲】 多项式例讲 陶平生 基本内容：多项式的整除问题，分解问题，多项式根的问题，分圆多项式，拉格朗日插值多项式，多项式的可约性，结构与存在问题，多项式的构造与应用． 、对于一个整系数的非零多项式，若其全体系数是互质的，就称为本原多项式；证明高斯引理：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式． 证：设，是两个本原多项式，而是它们的乘积，今用反证法，假若不是本原的，即是说，的系数组有异于的公因子，那么就有一个质数能整除的每一个系数； 因为是本原的，所以不能同时整除的每一个系数，令是第一个不能被整除的系数，即，而；同样，因也是本原的，令是第一个不能被整除的系数，即，而； 我们来看的系数，由乘积定义， ，据假设，，而右端除了这一项外，其它项皆是的倍数，而，矛盾！ 、设为奇质数，，为整系数多项式，若在集合中，有个或更多个，使都是的倍数，则的所有系数都是的倍数． 证：引理：设，对于一元次整系数多项式，若有质数，则可将表成如下形状：．其中为次整系数多项式，为整数． 事实上，如设，则有，由得，设，即有． 回到本题，对多项式的次数归纳，时，设，如有， ，使得都是的倍数，则 ，即，而，为质数，则，于是 ，即，因此时结论成立． 假设在时，对于次多项式，结论成立，考虑情况，设，而是集合中的个数（不妨设），使得对于次多项式，每个都是的倍数．因，据引理，可表为 …… ，其中是次整系数多项式，再分别用代人，得到，，由于，为质数，则，而是次整系数多项式，由归纳假设，的系数皆是的倍数．代人得，的系数皆是的倍数．故当时结论也成立，因此由归纳法，对所有，结论都成立． 、设，证明：． 证：注意到为集合 中每次取个元素的乘积之和，故可考虑以为根的多项式 …… ，将其展开后，设为 ，其中， 因为质数，故当时，（据费尔马定理），又因（据威尔逊定理），且当时，，所以当时，皆有，因此的所有系数皆是的倍数，令， 有，…，（其中） 由，，所以由中取有 …… 据，，由，就是展开式中的一次项系数，即为，因此得， ．（注意，本题中的可改为任意奇质数）． 、设为实数，，的系数满足：， 证明： ． 证：据条件，，， 而 ，由于， 所以，于是方程有一根在区间中；又因，则方程有一负根，因此方程在区间中无根，即在此区间内不变号，因，则 与同号，所以． 、为实系数二次多项式，已知当时有； 证明：在时有，并确定等号能否取到？ 证：当时分别有 …， 据此又有， …①， …②， …③， ……④，由得， ……⑤，由①⑤，，所以 … ⑥，由及④得 …… ⑦ 据①②⑥得，，由①③⑥得， 即，又因； 、如果，则在上单调，故当时， ； 、如果，则当时，取得极值，其值为， 而．即当时， ． 其中等号可以取到，例如函数． 、设二次函数，其中是给定的实数； 证明：至多只有两个不同的整数，使得． 证：反证法，假若有三个不同的整数，使得， 则其中必有两个点位于对称轴的同一侧，（其中包括有一个点位于对称轴上的情况），不妨设，，因为整数，则， 所以，由此得， 于是 ，矛盾！因此所设不真，从而结论得证． 、设的根都是正整数，且，求． 解：设方程的个正整数根为， 则，于是，因此，等式右端为个之积，所以，，而，据二项展开式，其一次项为，即． 、设多项式的次数不大于，（），且对每个整数，都有；证明：对每个实数，都有． 证：对个值使用拉格朗日插值公式，有 ，因为当时有，所以 ，注意到，对每个实数， 有，这是由于，当时， 得 ，同理可证情形． 于是得到， ． 、设为整系数多项式，且在时，都是质数，证明：无有理根． 证：假若有有理根，则可将分解为，其中为整数，故对于，必有一个，当时取值为或；对于亦是如此，于是中，必有一个，在 时三次取到，不妨设三次取到，若去掉绝对值符号，必有的两个相异值，使得两次取到相同的值（或），设为， 即，于是，这说明，为一次多项式，矛盾！因此结论成立． 、设为互不相等的实数，将它们按如下方法填入一张 的方格表中，即在位于第行与第列的交叉处的方格中填入数； 已知表中任一行的各数的乘积皆是，证明：表中任一列的各数的乘积也是． 证：第行的各数乘积为：， 故知是多项式 …… 的个相异根，因此该多项式又可表为：…… 取，，则由，， 由，，因此， ，左边恰是表中第列各数之积，． 、已知对任何整数，三项式都是完全平方数； 证明，为整数，且． 证：记，先证，为整数． 易得，为平方数，，皆为整数， 若不是整数，则为奇数，设，于是 ， 又因或，，则 或，即不为平方数，矛盾. 因此为整数，继而 为整数. 为证，采用结构转换法： 若，则，为平方数，而是非零平方数，因此，，的值为平方数. ，分别取，则有整数，使 ，，相乘并整理得 …… 由于与互质，可知中的三项两两互质，且为偶数，故由勾股数定理，有互质整数，使