求最值在圆锥曲线中的体现.doc

求最值在圆锥曲线中的体现 一、利用圆锥曲线的对称性求最值 例1. 设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则△F1AB的面积最大为（） A. B. C. D. 解析：如图1，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半。又，△F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以△F1OB的面积最大值为。所以△F1AB的面积最大值为cb。 图1 点评：抓住△F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。 二、利用圆锥曲线的参数方程求最值 例2. 已知点P是椭圆上到直线的距离最小的点，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 解析：将化成参数方程，设，则 ， 其中， 当时，。 此时可以取得，从而可得到。故选A。 点评：化椭圆，利用三角函数的方法将最值转化为角变量来确定。 三、利用重要不等式求最值 例3. 已知圆C过坐标原点，则圆心C到直线l：距离的最小值等于（ ） A. B. 2 C. D. 解析：圆C过原点，则。圆心C（a，b）到直线l：的距离 所以圆心到直线l距离的最小值为。 点评：抓住定值，利用重要不等式求最值，但是不要忽视等号成立的条件。 四、利用圆锥曲线的定义求最值 例4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. 解析：由双曲线的第一定义，得 又， 所以， 从而 由双曲线的第二定义可得， 所以。又， 从而。故选B。 点评：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。 五、利用几何性质求最值 例5. 已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（） A. 10 B. C. D. 解析：易知A（3，2）在椭圆内，B（－4，0）是椭圆的左焦点（如图2），则右焦点为F（4，0）。连PB，PF。由椭圆的定义知： 图2 ， 所以。 由平面几何知识， ， 即 而， 所以。 点评：由△PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论。 1