数列知识点命题.doc

数列专题归纳 整理：邓国平 校审：高三年级组 数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 【例题1】已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围 .（答：）； 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法或。 2．等差数列的通项：或。 (1)等差数列中，，，则通项　　　　（答：）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：） 3．等差数列的前和：，。 【例题2】已知数列 的前n项和，求数列的前项和 答： 三．等差数列的性质： 1．当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. 2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 3．当时,则有，特别地，当时，则有. 如：等差数列中，，则＝____（答：27）； 若、是等差数列，则 ，…也成等差数列。 如：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）5．若等差数列、的前和分别为、，且，则 . 如：设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么______（答：） 6．“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想） 如：等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？ （答：前13项和最大） 四．等比数列的有关概念： 1．等比数列的判断方法：定义法，其中或。 2．等比数列的通项：或。 3．等比数列的前和：当时，；当时，。 4.等比数列的性质： 当时，则有，特别地，当时，则有. 如：各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。 五．等差数列、等比数列概念与性质： 等差数列 等比数列 定义 （，…） （，…） 通项 公式 ， ， 求和 公式 中项 对称性 若，则 若，则 分段和 、、成等差数列 、、成等比数列(q≠-1) 等差数列中： （1）等差数列的判定方法： ①定义法：常数（）为等差数列； ②中项公式法：（）为等差数列； ③通项公式法：（）为等差数列； ④前项求和法：（）为等差数列； （2）等差数列的性质： ①,；②(反之不一定成立)； 特别地,当时,有； 【例题3】若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13 项 ③若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列； ④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即仍是等差数列； 【例题4】等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是 210 ． ⑤等差数列,当项数为时,,； 项数为时,,,且； 【例题5】等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，，求其项数和中间项. 解：设数列的项数为项，则， ∴，∴，∴数列的项数为，中间项为第项，且． ⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式(或).也可用的二次函数关系来分析. ⑦若,则；若,则； 【例题6】若数列成等差数列，且，求． 解：设，则 得：，， ∴， ∴ 【例题7】设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有 ，则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是． 说明：． （二）等比数列中： （1）等比数列的充要条件:①是等比数列（为非零常数）；②是等比数列（）③是等比数列④是等比数列（，，）（2）等比数列的性质:①,；②若、是等比数列，则、等也是等比数列； ③； [特别提醒]运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论. ④(反之不一定成立) 【例题8】已知数列是等比数列,且,,，则 9 ． （三）等差数列和等比数列的关系： ① 如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列,则数列是等差数列； ② 若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列； ③ 如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项； ④ 三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：； 三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：(为什