4-4线性方程组的解的结构.ppt

§4 线性方程组的解的结构 * 补充例题 * n个未知数的齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)?n ? n个未知数的非齐次线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是R(A)?R(A? b)? 且当R(A)?R(A? b)?n时方程组有唯一解? 当R(A)?R(A? b)?n时方程组有无限多解? 齐次线性方程组解的性质 性质1 若x??1? x??2为方程Ax?0的解? 则x??1??2也是Ax?0的解? 这是因为 ?0?0?0? ?A?1?A?2 A(?1??2) 齐次线性方程组解的性质 性质1 若x??1? x??2为方程Ax?0的解? 则x??1??2也是Ax?0的解? 性质2 若x??1为方程Ax?0的解? k为实数? 则x?k?1也是Ax?0的解? 这是因为 A(k?1) ?k0?0? ?k(A?1) 齐次线性方程组解的性质 性质1 若x??1? x??2为方程Ax?0的解? 则x??1??2也是Ax?0的解? 性质2 若x??1为方程Ax?0的解? k为实数? 则x?k?1也是Ax?0的解? 设S是方程Ax?0的解的集合? S0? ?1? ?2? ???? ?t是S的一个最大无关组? 那么 一方面? 方程Ax?0的任一解都可由S0线性表示? 另一方面? S0的任何线性组合 x?k1?1?k2?2? ??? ?kt?t 都是方程Ax?0的解? 因此上式便是方程Ax?0的通解? 说明? 下页 齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系? 齐次线性方程组的基础解系 设?1? ?2? ???? ?t为方程Ax?0的基础解系? 则方程Ax?0的通解为 x?c1?1?c2?2? ??? ?ct?t (c1? c2? ???? ct?R)? 下页 用初等行变换把n元齐次线性方程组Ax?0的系数矩阵A化为行最简形 则方程组Ax?0的通解为 其中xr?1? ??? ? xn为自由未知数? 求基础解系的方法 下页 求基础解系的方法 其中xr?1? ??? ? xn为自由未知数? 方程组Ax?0通解可以写成 令(xr?1? xr?2? ???? xn)T分别等于(1?0? ????0)T? (0?1? ????0)T? ???? (0?0? ????1)T?这是一组线性无关的解，代入上式得到n?r个解向量 这就是方程组的基础解系? 显然任何解都可由它们线性表示。 ?1?(?b11? ???? ?br1? 1? 0? ???? 0)T? ?2?(?b12? ???? ?br2? 0? 1? ???? 0)T? ? ? ? ? ? ? ? ?n?r?(?b1? n?r? ???? ?br? n?r? 0? 0? ???? 1)T? 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解? 对系数矩阵A作初等行变换变为行最简形? 解 于是方程组的通解为 其中x3? x4为自由未知数? 令(x3? x4)T?(1? 0)T? 得 ?1?(2/7? 5/7? 1? 0)T? 令(x3? x4)T?(0? 1)T? 得 ?2?(3/7? 4/7? 0? 1)T ? 故方程组的基础解系为?1? ?2? 方程组的通解又可表示为 x?c1?1?c2?2? (c1? c2?R)? 下页 非齐次线性方程组解的性质 性质3 设x??1及x??2都是方程组Ax?b的解? 则x??1??2为对应的齐次线性方程组Ax?0的解? 这是因为 ?b?b?0? ?A?1?A?2 A(?1??2) 下页