石大线代-6.ppt

证 必要性. 则在A中应有一个 n 阶非零子式 Dn , 若 R(A)=n, 根据克莱姆法则, Dn所对应的 n 个方程只有零解, 从而 这与原方程组有非零解相矛盾. 下面用矩阵的秩给出齐次线性方程组有非零解的判定 条件。 即R(A) n. 充分性. . 个自由未知量 从而知其有 r n - 任取一个自由未知量为 1，其余自由未知量为 0， 即可得方程组的一个非零解。 设R(A)=r n. 注：定理 8可视为齐次线性方程组情形的克莱姆法则的 推广。即我们有： 一、主要内容 第二章 小 结 一些特殊矩阵：零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、 对角矩阵、分块对角阵、上（下）三角阵、 同型矩阵、对称阵、反对称阵、伴随矩阵、 可逆矩阵、等价矩阵、初等矩阵、满秩方阵. 矩阵的运算：加（减）、数乘、矩阵乘以矩阵、转置、 方阵的行列式、求逆。矩阵的初等变换。 二、本章重点 注：用矩阵的初等变换可解决： 判别矩阵是否可逆并求可逆矩阵的逆矩阵； 解矩阵方程； 求矩阵的秩； 求矩阵的标准形。 （矩阵的初等变换还有许多用处，见以后各章） 矩阵可逆的判别、矩阵的秩的概念、 矩阵的初等变换。 1. 逆矩阵的运算规则 (A,B皆为方阵) 三、一些结论 2. n 阶方阵A可逆的充要条件 A可逆 3. 关于矩阵秩的关系式 1 设A为 n 阶方阵，B为 n×m 矩阵， ，试证 若AB=O ，则必有 B=O。 证法 1 在 AB= O 两边用 左乘即可。 证法 2 将矩阵B按列分块 由AB= O，得 即B的每一列都是线性方程组AX= 0的解， 因为 故方程组只有零解，即 从而B= O。 证毕 2 (P64第5 题) 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明： （1）若│A│=0，则│A*│=0； （2） 证 （1）反证 (2)已知 n 阶方阵 A 满足 求证 。( P65第 3题 ) 3 (1) 证明 如果A2=A, 但 A不是单位矩阵, 则 A 必为奇 异矩阵 (即 |A|=0) 。 证法二 由 3 (1) 证明 如果A2=A, 但 A不是单位矩阵, 则 A 必为奇 异矩阵 (即 |A|=0) 。 证法一 （反证） ■ 证 (2)已知 n 阶方阵A满足 求证 。 ■ 证 设 （教材P59例21） 4 试证 则A，B的标准形分别为 即存在可逆矩阵 使 于是 由于 都是可逆矩阵， 与 等价， 于是 故知 （教材P59例21） 4 试证 ■ 作 业 线性代数练习册 P10~13 * * * * * * 第二章 矩阵 第*页 内容 回顾 （2） 一、分块矩阵 一些概念：分块矩阵、分块矩阵的运算（加、 数乘、矩阵乘以矩阵、转置等）分块对角阵。 主要结论：（1）当 皆可逆时，A 也 可逆，且有： 二、初等变换与初等矩阵 主要概念：初等变换、矩阵的等价、初等方阵 定理 3 设 A 是一个 m×n 矩阵，对 A 进行一次初等行 变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等方阵； 对A 进行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相 应的 n 阶初等方阵。 主要结论 初等变换都是可逆的，且其逆变换也是初等变换。 结论 初等方阵皆为可逆矩阵。 易知： 即，初等矩阵的逆仍是初等矩阵。 证 事实上，有 故这三类初等方阵都可逆。 定理 4 任意一个矩阵 经过若干次初等变 换，可以化为下面形式的矩阵 I。 证 若 A 所有的元素都等 于0，则 A已是 I 的形 式 (此时 r =0), 否则 A 中至少有一个元素不为 0，不妨设 ,即 对A作行变换 , 再作列变换 , 然后用 乘第一行，于是矩阵A化为 如果 ，则A已化为 I 的形式，如果 ，那么 按上面的方法，继续下去，最后总可以化为 I 的形式。