3.4三角函数的图像与性质.ppt

* 要点梳理 1.周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义 域内的每一个x值,都有___________,那么函数f(x) 就叫做周期函数._________叫做这个函数的周期. §3.4 三角函数的图象与性质 基础知识 自主学习 f(x+T)=f(x) 非零常数T (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_________ ___,那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期. 如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数y=f(ωx) 的周期是多少？ 函数y=f(ωx)的周期是 而不是 最小的正 数 最小正数 思考 提示 2.三角函数的图象和性质 ________ ________ ________ 奇偶性 ___ ________ ________ 值域 图象 ___ ___ 定义域 y=tan x y=cos x y=sin x 函 数 性 质 R R [-1,1] [-1,1] R 奇函数 奇函数 偶函数 单调增区间 单调增区间 ; 单调减区间 单调增区间 ; 单调减区间 单 调 性 ______ ______ _______ 周 期 对称中心: 对称轴: ; 对称中心: 对称轴: ; 对称中心: 对 称 性 基础自测 1.(2010·泰州模拟)函数y=cos 4x的最小正周期是____. 解析 利用公式 2.函数 的单调增区间为 ________________________. 解析 解析 答案 (1) (2) 4.设函数f(x)=A+Bsin x,若B0时,f(x)的最大值是 最小值是 则A=____,B=____. 解析 根据题意, -1 【例1】求下列函数的定义域: 本题求函数的定义域:(1)需注意对数的真 数大于零，然后利用弦函数的图象求解；(2)需注 意偶次根式的被开方数大于或等于零,然后利用函 数的图象或三角函数线求解. 典型例题 深度剖析 分析 解 (1)要使原函数有意义,必须有 由图知,原函数的定义域为 (2)要使函数有意义 ∴函数定义域是{x|0x 或π≤x≤4}. 解 方法一 利用三角函数线,如图 MN为正弦线,OM为余弦线, 要使sin x≥cos x,即MN≥OM, ∴定义域为 方法二 sin x-cos x 将 视为一个整体,由正弦函数y=sin x的图象和 性质可知 所以定义域为 跟踪练习1 求函数 的定义域: 【例2】求下列函数的值域: (1)y=2cos2x+2cos x; (2)y=3cos x- sin x; (3)y=sin x+cos x+sin xcos x. 先观察解析式的结构针对不同的结构采用 不同的方法转化为二次函数或利用|sin x|≤1， |cos x|≤1等. 解 (1)y=2cos2x+2cos x=2(cos x+ )2- 于是当且仅当cos x=1时取得ymax=4, 当且仅当cos x= 时取得ymin= 故函数值域为 分析 跟踪练习2 求下列函数的值域: (1)y=4tan xcos x; (2)y=6-4sin x-cos2x; (3) 解 (1)y=4tan xcos x=4sin x(cos x≠0). 由于cos x≠0,所以sin x≠±1, ∴函数的值域为(-4,4). (2)y=6-4sin x-cos2x=sin2x-4sin x+5 =(sin x-2)2+1. ∵-1≤sin x≤1.∴函数的值域为［2,10］. (3)方法一 方法二 【例3】已知函数 (1)判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的最小正周期. (1)判断函数的奇偶性,首先要判断其定义 域是否关于原点对称,之后再作进一步判断. (2)在求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地 化为只含有一个三角函数的式子,否则很容易出现 错误. 分析 解 又f(x)的定义域关于原点对称, ∴f(x)是偶函数. 跟踪练习3 已知函数