概率论第二版杨振明课后题答案.doc

2.1.习题 1．设随机变量的分布函数为，证明也是随机变量，并求的分布函数． 证明：由定理2.1.3随机变量的Borel函数仍为随机变量， 故也是随机变量． 的分布函数为 当时，，故； 当时， 因此，的分布函数为 ． 3．假定一硬币抛出正面的概率为，反复抛这枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率． 解：（1）表示前次都出现正(反)面，第次出现反(正)面，据题意知， ， 所以，抛掷次数的密度阵为 (2) 恰好抛掷偶数次的概率为： 4．在半径为R的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离的分布函数及． 解：此点到圆心之距离的分布函数为 当时，，； 当时，； 当时， 故的分布函数为 ． ． 5．在半径为的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度的分布函数． 解：当时，，； 当裂纹距离地面高度为时，分布函数为； 当裂纹距离地面高度为时，分布函数为； 当裂纹距离地面高度为时，分布函数为； 当时， ； 则的分布函数为 6．已知随机变量的密度函数为 试求：(1) 的分布函数，（2）． 解：（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 则的分布函数为 （2） 7．设 ， （1）求使为密度函数； （2）若以此为密度函数，求使． 解：（1）由密度函数的性质，知 解得，． （2）【法一】根据概率的非负性，， 当时，，显然不成立； 当时， 而，即， 解得，． 【法二】的分布函数为 当时，，上式不成立． 当时， 则， 解得，． 8.设是连续型分布函数，试证对任意有 . 证：等式左边= = 因是连续的分布函数则上式积分可以交换． 则上式交换积分次序得 ． 2.2习题 1．向目标进行20次独立的射击，假定每次命中率均为0.2．试求：（1）至少命中1次的概率；（2）至多命中2次的概率；（3）最可能命中次数． 解：令表示命中次数，这是=20重试验，每次命中率=0.2，命中次数服从B(20,0.2)分布． 至少命中一次的概率 ． 至多命中两次的概率 ． 在二项分布中， 时，最大， 故=4时最大，即最可能命中的次数为4次． 2．同时掷两枚骰子，直到某个骰子出现6点为止，求恰好掷次的概率． 解：掷一枚骰子出现6点的概率是，同时出现6点的情况有两种：都是6点概率为×，其中一个是6点的概率为2××．因此掷两枚骰子出现6点的概率是． 以表示某骰子首次出现6点时的投掷次数，题目要求恰好掷次则前次都没有出现6点，于是所求概率为． 3．某公司经理拟将一提案交董事代表会批准，规定如提案获多数代表赞成则通过．经理估计各代表对此提案投赞成票的概率为0.6，且各代表投票情况相互独立．为以较大概率通过提案，试问经理请3名董事代表好还是请5名好？ 解：即求请3名董事获多数赞成通过的概率大还是请5名董事通过的概率大．令表示3名董事代表对提案的赞成数，则分布． 多数赞成，即 令表示5名董事代表对提案的赞成数，则分布． 多数赞成，即 因此，请5名董事代表好． 4．甲、乙二队比赛篮球．假定每一场甲、乙队获胜的概率分别为0.6与0.4，且各场胜负独立．如果规定先胜4场者为冠军，求甲队经场(=4,5,6,7)比赛而成为冠军的概率．再问与赛满3场的“三场两胜”制相比较，采用哪种赛制甲队最终夺得冠军的概率较小？ 解：令表示甲成为冠军所经过比赛的场数． 对甲先胜四场为冠军：表示前场中胜三场，第场必胜． 则 因此，，=4,5,6,7 对甲先胜四场成为冠军的概率是 ． 对赛满3场的“三场两胜”制：甲前两场中胜一场，第三场必胜 则． 因此，进行甲先胜4场成为冠军的概率较大． 5．对重试验中成功偶数次的概率． 解：记为一次试验中事件成功的概率，为失败的概率． 由 ① ② （①-②）/2得： 7．在可列重试验中，以表第次成功的等待时间，求证与有相同的概率分布． 解：这是一个几何分布．表示第一次成功到第二次成功的等待时间． 如果第一次成功到第二次成功进行了次试验，