高中数学直线与方程教案.doc

平面解析几何 第一讲 直线方程 知识归纳： 直线的倾斜角与斜率 1、确定直线的几何要素是两点一点和两个独立条与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。 注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角； ②规定：直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为 ③直线倾斜角α的取值范围是： ④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。 3、直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。 注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当时，；当时，；当时，不存在，当时，。 即：斜率的取值范围为 例1、给出下列命题：①若直线倾斜角为，则直线斜率为；②若直线倾斜角为，则直线的倾斜角为； ③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为 例2、已知直线的倾斜角为，且，求直线的斜率 4、直线斜率的坐标公式 经过两点的直线的斜率公式： 注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即 ②特别地：当时，；此时直线平行于轴或与轴重合；当时，不存在，此时直线的倾斜角为，直线与轴平行或重合。 例3、已知点，求直线的斜率并判断倾斜角的范围。 例4、（三点共线问题）已知三点，证明这三点在同一条直线上 例5、（最值问题）已知实数，满足，当时，求的最大值和最小值 5、直线的方向向量：已知是直线上的两点，直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量。直线与轴不垂直时，，此时，向量也是直线的方向向量，且它的坐标是，即（1，k），其中k为直线的斜率 6、直线的法向量：如果向量与直线垂直，则称向量为直线的法向量。 二、直线的方程 1、定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这是，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 2、直线方程的几种形式 （1）点斜式： 问题：若直线经过点，且斜率为k，求直线的方程。 解析：设点是直线上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得，可化为，即为过点、斜率为k的直线的方程。 方程是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式。 注意：①与是不同的，前者表示直线上缺少一个点，后者才是整条直线； ②当直线的倾斜角为时，，即，这时直线的方程为 ③当直线的倾斜角为时，直线斜率不存在，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是。即：局限性是不能表示垂直于轴的直线。 ④经过点的直线有无数条，可分为两类情况： ⅰ、斜率为k的直线，方程为 ⅱ、斜率不存在的直线，方程为或写为 例6、根据条件写出下列各题中的直线的方程 ①经过点，倾斜角，②经过点，斜率为2 ③经过点，且与轴平行 ④经过点，且与轴垂直 （2）斜截式： 问题：已知直线的斜率是k，与轴的交点是，代入直线方程的点斜式，得直线的方程，也就是，我们称是直线在轴上的截距。 这个方程是由直线的斜率k和它在轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 注意：① ②局限性：不表示垂直于轴的直线 ③斜截式方程和一次函数的解析式相同，都是，但有区别：当斜率不为0时，是一次函数，当时，不是一次函数；一次函数（） 必是一条直线的斜截式方程。 例7、求倾斜角是直线的倾斜角的，且在轴上的截距为的直线的方程。 （3）两点式： 问题：已知直线经过两点，求直线的方程 解析：因为直线经过两点，所以它的斜率，代入点斜式，得，当时，方程可以写成 这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程，简称两点式。 注意：①方程与方程比较，后者比前者表示直线的范围更小了，前者不能表示斜率不存在的直线，后者除此外，还不能表示斜率为0的直线；局限性：不能表示垂直于坐标轴的直线。 ②两点式方程与这两个点的顺序无关。 例8、已知点，，求直线的方程 例9、一条光线从点出发，经轴反射，通过点，求入射光线和反射光线所在直线的方程 （4）截距式： 问题：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，求直线的方程。 解析：因为直线经过和两点，将这两点的坐标代入两点式，得，即为 如果直线与轴的交点为，则称为直线在轴上的截距。 以上直线方程是由直线在轴和轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式 注意：方程中，所以它不能表示与坐标轴平行（重合）的直线，还不能表示过原点的直线。 例10、过两点，的直线在轴上的截距为 （5）一般式方程： 以上几种形