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[2018年必威体育精装版整理](内容提要)-4--数值微积分
数值微分与数值积分
一、基本内容提要
1. 差商型数值微分公式
(1)向前差商公式
(2)向后差商公式
(3)中心差商公式
2. 插值型数值微分
(1)两点数值微分公式()
过节点的插值型数值微分两点公式为
其截断误差为
,
其中。
(2)三点数值微分公式
过节点的插值型计算导数的三点公式为
其截断误差为
(3)二阶数值微分公式
住:此公式是三点公式。
3. 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式
将积分区间等分,步长 ,取等距节点
则柯特斯(Cotes)系数
牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式为
又被称为N-C公式。
下面给出几种特殊的N-C求积公式。
(1)梯形求积公式:
当时,,相应的求积公式
称为梯形求积公式。
(2)辛普森(Simpson)公式
当时,,,,相应的求积公式为
(3)柯特斯(Cotes)公式
当时,令,,求积公式
称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)
对任意次数不高于次的多项式均精确成立,而对某个次的多项式不精确成立,则称该求积公式具有次代数精度(Algebraic Accuracy)等分,步长,节点在每个小区间上用梯形公式
并求和
得到的公式
称为复化梯形公式。
6. 复化辛普森(Simpson)积分
若将积分区间分成等分,步长,节点 在每个小区间上使用Simpson公式
则有
其中,对其求和可得
得到的公式
则称为复化Simpson公式。
7. 龙贝格(Romberg)求积公式
Romberg积分是一种最典型的外推算法,是利用逐次分半的梯形序列,经Richardson 外推算法得到的求积公式。下面对改公式进行详细的介绍:
对积分,使用复化梯形公式并记
再根据Euler-Maclaurin公式,可得
取其中的,由Richardson 外推公式得
设,则,且有
如此重复Richardson公式可得
若记,则上式可记为
此式即为龙贝格(Romberg)求积公式。
8. 高斯(Gauss)求积公式
Gauss型求积公式是指具有次代数精度的形如插值型求积公式,其节点称为Gauss点。
下面介绍几种常用的Gauss型求积公式:
(1)高斯-勒让德(Gauss-Legendre)求积公式
其Gauss点为Legendre多项式
的零点,求积系数为
(2)高斯-切比雪夫(Gauss - Chebyshev )求积公式
其Gauss点及求积系数为
,
(3)高斯-拉盖尔(Gauss - Laguerre )求积公式
其Gauss点为Laguerre多项式
的零点,求积系数为
(4)高斯-埃尔米特(Gauss – Hermite)求积公式
其Gauss点为Hermite多项式
的零点,求积系数为
.100. 实用数值分析解题指导
第四章 数值微分与数值积分 . 101 .
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