[2018年必威体育精装版整理](复变)第三章.ppt

例3.8 计算积分 的值，其中C为: 解： (1) 被积函数 在 的内部解析 (2) 被积函数 在 的内部解析 (3) 被积函数在|z|=3的内部有两个奇点.在C的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C1和C2，其中C1的内部只包含奇点z=1，C2的内部只包含奇点z=-1. * * §3.1 复变函数积分的概念 1.复变函数积分的定义 设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A和B. C可能有两个方向：从点A到点B和从点B到点A.若规定其中一个方向(例如从点A到点B的方向)为正方向，则称C为 有向曲线.此时称点A为曲线C的起点，点B为曲线C的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向，记作C?. 定义3.1 设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C按从点A到点B的方向在C上依次任取分点： A=z0,z1,…,zn-1,zn=B, 将曲线C划分成 n个小弧段.在每个小弧段 (k=1,2,…,n)上任取一点?k,并作和式 其中 .记?为n个小弧段长度中的最大值.当?趋向于零时，若不论对曲线C的分法及点ζk的取法如何，Sn极限存在，则称函数f(z)沿曲线C可积，并称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分.记作 f(z)称为被积函数，f(z)dz称为被积表达式. 若C为闭曲线，C的正方向指的是，当点沿着曲线C按所选定取积分的方向运动时，C所围区域始终在它的左侧，这时函数f(z)沿曲线C的积分记作 2.复变函数积分的性质 性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则 性质3.2（线性性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则 其中?,?为任意常数. 性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，则 性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对 ,满足 , 曲线C的长度为L,则 其中 , 为曲线C的弧微分. 记?sk为zk-1与zk之间的弧长 两端取极限 3.复变函数积分的基本计算方法 定理3.1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可积，且 证明： 已知f(z) 沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且 参数方程法 设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为 参数t=a时对应曲线C的起点，t=b时对应曲线C的终点. 设f(z)沿曲线C连续，则 例3.1 分别沿下列路径计算积分 和 (1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段； (2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段. 解： (1) C的参数方程为：z=(1+i)t, t从0到1 . (2) 把从原点（0，0）到（1，0）和从（1，0）到（1，1）这两直线段分别记为C1和C2, C1的参数方程为：y=0, x 从0到1; C2的参数方程为：x=1, y 从0到1. 例3.2 计算积分 ,其中C为图3.2所示半圆环区域的正向边界. 解：积分路径可分为四段： C1:z=t(-2≤ t ≤ -1); C2:z= 从?到0; C3:z=t(1≤ t ≤ 2); C4:z= 从0到?. 例3.3 计算积分 ,其中C为以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为整数. 解：曲线C的方程为： 当n=0时 当n≠0时， §3.2 柯西-古萨定理及其推广 1.柯西-古萨(Cauchy-Goursat)定理 假设函数f(z)=u+iv在单连通域D内处处解析，f(z)在D内连续, u,v对x,y的偏导数在D内连续.设z=x+iy，C为D内任一条简单闭曲线. 记G为C所围区域，由格林(Green)公式有 由于f(z)=u+iv在D内解析，所以u,v在D内处处都满足柯西-黎曼方程,即 因此 从而 定理3.2（柯西-古萨定理） 若函数f(z)是单连通域D内的解析函数，则f(z)沿D内任一条闭曲线C的积分为零，即 任意一条闭曲线都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的。 推论3.1 设C为