[2018年必威体育精装版整理]03第三讲积分及其应用.doc

第三讲 积分及其应用 考纲要求 1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念. 2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法. 3.会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分. 4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式. 5.了解广义积分的概念，会计算广义积分. 6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积已知的立体的体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值. 一、不定积分 问题1 不定积分的概念与性质 答 考纲要求理解原函数、不定积分的概念，掌握不定积分的性质. 1.概念 定义1 如果在区间上，有或者， 则称为在区间上的原函数. 定义2 的不定积分，记作. ▲它们的关系是：如果为的一个原函数，则 . 上式表明：求不定积分，只要求出它的一个原函数，再加上任意常数. 2.性质 （先积后导还原了） （先导后积还原） 性质2 （线性性）. 例题 1.若，则 .【】 2.已知，则 .【】 3.已知的一个原函数为,则 . 【】 4.下列命题中不正确的是（）.【B】 (A)若为连续的奇函数，则其原函数为偶函数 (B)若为连续的偶函数，则其原函数为奇函数 (C)若为可导的奇函数，则其导函数为偶函数 (D)若为可导的偶函数，则其导函数为奇函数 解 由知，连续的奇函数的原函数全为偶函数，连续的偶函数的原函数中，只有一个为奇函数，故选择A. ▲求导改变函数的奇偶性. 证明如下： 若，则，即. ▲积分改变函数的奇偶性. 证明如下：记， 若，则. 问题2 常用的积分公式 答 常用的积分公式有22个，它们是： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）；（9）；（10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）；（17）； （18）；（19）； （20）；（21） （22） ▲其中三角函数10个，与二次式有关的7个的积分 . 定理 设有积分公式，则 . ▲凑微分型积分特点：，关键是凑微分，即将凑成微分，从而积分，其中是22个函数之一； ▲在运用凑微分法求不定积分时，请记住下面的口诀： 根据复合抓住，凑完微分配系数； 使用公式要准确，积分消失加常数； 特殊情形有两个，就是和倒数： ， 例题 1.【】 2.【】 3.【】 4.【】 5.【】 6.【】 问题4 如何用第二类换元法求不定积分？ 答 逆用凑微分公式，就得到第二类换元法. 定理 设连续，单调、可导且连续，则 . ▲当被积函数含时，用三角代换； ▲当被积函数含，，时， 令，，； ▲当被积函数分母次数较高时，令. 例题 1. 【】 2. 解 （方法一）令， 当时，， 当时，. （方法二）令， 当时， ， 当时， . （方法三） 当时，， 当时， 3.【】 4. 解 令， . 问题5 如何用分部积分法求不定积分？ 答 分部积分公式由乘积求导法则导出，用于计算形如的积分. 具体步骤如下： （凑微分） （用公式） （算微分，求积分） 关键是凑微分. ▲分部积分型积分特点：，被积函数为“反对幂指三”五类函数的乘积，下面的积分都是典型的分部积分题： 分部化简型：；；；. 分部还原型：； ；. 分部递推型：，. 分部抵消型：. 可以这样说，凡是“反对幂指三”五类函数的乘积，只要不是凑微分题，都可以考虑用分部积分法计算. ▲使用分部积分法求不定积分时，请记住下面的口诀： 可凑尽量凑，不可不强求，反对幂指三，逆序找函数； 一乘一交换，判别难易度，难度若降低，积分可以求； 难度若相当，还原有希望，分部若降次，可得递推式； 积分积不出，分部试一试，若能两相消，难点解决掉. 例题 1. 【】 2.【】 3. 【】 4.【】 5. 【】 解 【反三角函数与指数函数的乘积的积分，用分部积分法】 问题6 如何求有理函数的不定积分？ 答 首先要知道有理函数、假分式、真分式的概念. 由于假分式多项式真分式，所以关键是真分式的积分，步骤是： ⑴将在实数范围内分解因式； ⑵将表为部分分式之和，其方法是： 若有因式，则分解式中含下列项之和 ， 若有因式，则分解式中含下列项之和 ； ⑶用待定系数法求出； ⑷求出积分. ▲许多函数（如指数有理式，三角有理式，根式有理式等）的积分可以通过换元：，，化为有理函数的积分. 例题 求. 解 ， 去分母得 ， 依次比较上式两边的常数项和一次幂、二次幂、三次幂系数，得，，，， 解得 ， 故 . ▲确定待定系数时，辅之以特殊值法，使计算更快捷，如本题令，立即得. 问题7 如何求不定积分？ 答 求不定积分是最基本的