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离散数学 第六章 代数系统 代数系统 代数运算及性质 半群 群与子群 阿贝尔群和循环群 置换群 培集与拉格朗日定理 同态与同构 环与域 6-1 代数运算及性质 定义6-1.2 对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。当n=1，称为一元运算；当n=2，称为二元运算。如果B?A，则称该n元运算是封闭的。 例： 求一个数的相反数是实数集上的一元运算。 求一个数的倒数是非零实数集上的一元运算。 在三维空间求某个点x,y,z在x轴上的投影是实数集上的三元运算。 定义6-1.3 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作A,f1,f2,…,fk。 示 例 例题1 设A={x|x=2n,n?N},问乘法运算是否封闭？对加法运算呢？ 定理6-1.2 设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关于运算*的左零元θl和右零元θr，那么，θl=θr=θ，且A中的零元是唯一的。 定理6-1.3 设A,*是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。如果该代数系统中存在幺元e和零元θ，则θ≠e。 证明: 反证法。设θ=e，那么对于任意的x?A，必有x=e*x=θ*x=θ=e 。于是，A中的所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。 A关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中元素都与该元素相同。 A关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。 设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素都是幺元。 作业 P185 2(a)(b)， 3，5 * * 定义6-1.1 设A是集合，函数f: A?A ? A，称为A上的一个二元运算。参与运算的可以是集合A的任意两个元素，运算的结果也一定是A的一个元素，则称运算对于集合是封闭的。 例： f: N?N ? N f(x,y)=x+y f: N?N ? N f(x,y)=x?y 非零实数集R-{0}=R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算。 P（S）是S的幂集 ∩为集合的“交” A∩B∈P（S） A∩B=B∩A (A∩B)∩C =A∩(B∩C) P(S)是S的幂集 ?为集合的“并” A ?B∈P（S） A?B=B?A (A?B)?C =A?(B?C) R为实数集合 +为普通加法 x+y∈R x+y=y+x (x+y)+z =x+(y+z) I为整数集合 ·为普通乘法 x·y∈I x·y=y·x (x·y)·z =x·(y·z ) 集合 运算 封闭性 交换性 结合律 P (s), ∩ P(S),? R,+ I,. 定义6-1.4 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y?A,都有x*y?A,则称二元运算*在A上是封闭的。 定义6-1.5 设*是定义在集合A上的二元运算,如果对于任意的x,y?A,都有x*y=y*x,则称该二元运算*是可交换的。 定义6-1.6 设*是定义在集合A上的二元运算,如果对于任意的x,y,z?A都有(x*y)*z=x*(y*z),则称该二元运算*是可结合的。 定义6-1.7 设*,Δ是定义在集合A上的两个二元运算,如果对于任意的x,y,z?A都有 x*(yΔz)=(x*y)Δ(x*z) (yΔz)*x=(y*x)Δ(z*x) 则称运算*对于运算Δ是可分配的。 解: 对于任意的2r,2s?A, r,s?N,因为 2r.2s=2r+s?A所以乘法运算是封闭的。 而对于加法运算是不封闭的,因为至少有2+22=6?A。 例题2 设Q是有理数集合，Δ是Q上的二元运算，对任意的a,b?Q，aΔb=a+b-a·b，问运算Δ是否可交换。 解：因为 aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa 所以运算Δ是可交换的。 证明 因为对于任意的a,b,c?A (a★b)★c=b★c=c 而 a★(b★c)=a★c=c 所以 (a★b)★c=a★(b★c) 例题3 设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于任意a,b?A，有a★b=b，证明★是可结合运算。 解: 容易验证运算Δ对于运算*是可分配的。但是运算*对于运算Δ是不可分配的，因为 β*(αΔβ) =β*α=β 而(β*α)Δ(β*β)=βΔα=α 例题4 设集合A={α,β},在A上定义两个二运算*和Δ如下表所示。运算Δ对于运算*可分配吗？运算*对于运算Δ呢？ α α α β α β α β Δ