[2018年必威体育精装版整理]1-2凸集与凸函数.ppt

安徽大学数学与计算科学学院 §1.2 凸集与凸函数 一、凸集 凸集的性质 二、极点 三、凸函数 * * 定义1.1 设集合 若对于任意两点 及实数 都有： 则称集合 为凸集． 注： 常见的凸集：空集，整个欧氏空间 超平面： 半空间： 例1： 证明超球 为凸集． 证明： 设 为超球中的任意两点， 则有： 即点 属于超球 所以超球为凸集． （１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集 为凸集． （２） 设 是凸集， 是一实数， 则下面的 集合是凸集： （３） 设 是凸集， 则 的和集 是凸集; 注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集． 例2： 表示 轴上的点． 表示 轴上的点． 则 表示两个轴的所有点， 它不是凸集； 而 凸集． 推论： 设 是凸集， 则 也是凸集， 其中 是实数． 定义1.2: 设 实数 则 称为 的凸组合． 注： 凸集中任意有限个点的凸组合仍然在该 凸集中． 定义1.3 设 为凸集， 若 中不存在 两个相异的点 及某一实数 使得 则称 为 的极点． 注： 例3： 则 上的点均为极点． 证： 设 若存在 及 使得 则： 不等式要取等号，必须 且 容易证明 根据定义可知 为极点． 定义1.5 严格凸函数 凸函数的几何性质 凸函数的性质 凸函数的判定 该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之间的部分是一段向下凸的弧.