[2018年必威体育精装版整理]1-4全概公式与贝叶斯公式.ppt

* * §1.4 全概公式与贝叶斯公式 综合运用 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 全概率公式和贝叶斯公式主要用于 是加法公式和乘法公式的综合运用. 例1 设在某次世界女子排球赛中，中俄日古巴 四队取得半决赛权，形势如下： 中国队 古巴队 日本队 俄罗斯队 冠军 中国队 胜队 现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队、 俄罗斯队的概率分别为0.9与0.6，而日本队战 胜俄罗斯队的概率为0.4，试问中国队取得冠 军的可能性是多少？ 一、全概公式 解：记A=“日本队胜 ”； B=“中国队胜 ” 得到在概率计算中常用的全概率公式. 定理1（全概率公式） 　 设随机试验 E的样本空间 ， A1,A2,…,An为一完备事件组，且P(Ai)0， i =1,2,…,n, 则对于任一事件B, 有 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 证明： 设A1,A2,…,An 则 A1+A2+…+An= 对于任一事件B，有 A 1 A 3 A 5 A 2 A 6 A 4 为完备事件组， 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算. 全概率公式的来由, 不难由上式看出: “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和. 它的理论和实用意义在于: 某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，例如B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是 每一原因都可能导致B发生，故 P (B Ai)=P(Ai)P(B |Ai) 全概率公式. 我们还可以从另一个角度去理解 概率的总和，即全概率公式. B发生的概率是各原因引起B发生 例2 设有一批同规格的产品，由三家工厂生产， 其中甲厂生产1/2，乙、丙两厂各生产1/4， 而且各厂的次品率依次为2%，2%，4%， 现从中任取一件，求取到次品的概率。 解：设 分别表示甲、乙、丙工厂的产品， B表示次品，则 构成完备事件组。 玻璃杯的概率。 例3 玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0， 1， 2个次品的概率分别为0.8 , 0.1 , 0.1 ,一顾客购 买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一 箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购 买该箱玻璃杯，否则退回。求顾客买下该箱 分析：问题是求顾客买下玻璃杯的概率，假设 =顾客买下该箱玻璃杯， 要买下这箱玻璃杯，与各箱的次品数有关， 假设 =该箱玻璃杯有i个次品（i=0，1，2） 解： =顾客买下该箱玻璃杯，则 设 =该箱玻璃杯有i个次品（i=0，1，2） 二、贝叶斯公式（逆概公式） 定理2（贝叶斯公式） 　 设随机试验 E的样本空间 ， A1,A2,…,An为一完备事件组，且P(Ai)0， i =1,2,…,n, 则对于任一事件B, 有 i =1,2,…,n, 2 3 1 1红4白 ? 该球是取自1号箱的概率 . Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; 例4 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白 球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取 一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求 解：记 B ={取得红球} 例如 甲、乙两台机床生产数量很多的同一 种产品，根据已有的资料及经验知道各机床 产量占总产量的比例及各机床产品的废品率， 现从这批产品中随机抽取一件，发现是废品， 判断它是由哪台机床生产的？ 设A表示甲厂产品，B表示废品，已知 由贝叶斯公式求出 则认为该废品是甲厂的产品。 Bayes公式常用在判别方法，称为贝叶斯决策。 例5 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 解: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 求P(C|A). 现在来分析一下结果的意义. 由贝叶斯公式，可得 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ = 0.1066