[2018年必威体育精装版整理]1-4虚位移原理.ppt

*  1-4 虚位移原理1.虚功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功。力在虚位移上做功的计算与作用力在实位移所做元功的计算是一样的。虚功表示为 虚位移是假想的，自然虚功也是假想的。前面研究了约束的运动学性质，现在我们通过约束反力在虚位移的虚功来表示约束的动力学性质。 2.理想约束 在很多情况下，约束反力与约束所允许的虚位移互相垂直，约束反力的虚功等于零；一些系统内部相互作用的约束反力所做的虚功的和也等于零，这些约束统称为理想约束，其表达式为 以前分析过的光滑固定面，光滑铰链，刚性铰链杆， 不可伸长的绳索以及纯滚动的理想约束是对约束反力在 实位移上不做功或做功之和等于零而言的，这些理想约束的约束反 力在虚位移上同样不做功或做功之和等于零。 理想约束是抽象模型，它表示了许多实际约束的动力学性质。 3.虚位移原理 应用几何静力学平衡条件求解机构的平衡问题时，需对每一个 或几个或全部构件写出平衡方程，这样不仅方程数目多，而且在方 程中包括诸多约束反力，如何直接从整个系统上来建立平衡时主动 力之间的关系或直接求出主动力，需要以及虚位移原理才可解决这 个问题。 我们已阐明了约束的运动学和动力学性质，阐明了虚 位移的概念和分析方法，现在可以来建立虚位移原理， 叙述如下： 对于具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分 条件是，主动力系在质点系的任意虚位移中所作虚功之和等于零。 虚位移原理又称为虚功原理，其矢量表达式为 (1-13) 其中 表示作用在第 个质点上的主动力的合力， 表示力 作 用点的虚位移。其解析表达式为 其中 ， ， 为力 在直角坐标轴上的影 ， ， 为虚位 移 在直角坐标轴上的投影。 式（1-13）和式（1-14）称为虚功方程，又称为静力 学普遍方程。 下面来证明虚位移原理。 （1）必要性 若质点系处于平衡，则式（1-13）必定成立。质 点系处于平衡，其任一质点当然是处于平衡的，则作用在该质点上 的主动力 和约束反力 的合力必等于零，即 给该质点任一虚位移，则有 对 求和 因为原理的前提是质点系受离线公约数，则由式（1-12） 知上式中的 ，故得 即式（1-13）成立。 （2）充分性 若式（1-13）成立，则质点系必处于平衡，即不能有 静止进入运动的。取其中的一个质点来分析，因其不平衡，所以作 用于其上的主动力 与约束反力 的合力 质点在合力的作用下就产生一实位移 ，方向与合力相同。由于 我们研究的是质点系受定常约束，实位移是虚位移的一个，则 可 用 取代，于是有 质点系中使质点运动的作用力的虚功均为正功，而 使质点保持静止 状态的作用力的虚功皆为零，因而全部 虚功相加认为不等式，即 由于系统受理想约束， 故得 显然，此结论与式（1-13）矛盾。这就证明了虚位移原理的充 分性。 应该指出，虚位移原理是在系统的约束是理想的情况下得出的。 当需要考虑摩擦时，只要把摩擦力视为主动力，原理仍然适用。同 样，欲求约束反力，可将约束反力作为主动力运用虚位移原理。 小结 1.一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种限制 条件成为约束。约束可分类：完整约束和非完整约束，双面约束和 单面约束，定常约束和不定常约束。 2.确定具有完整的约束质点系的位置的独立参量的个数常委质点 系的自由度数。能完全确定质点系位置的独立参量成为质点系的广 义坐标。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标的数目等于自由 度数。 3.非自由质点的虚位移：在某瞬时，在不皮坏约束（即为约束所 允许）的条件下，质点假想的任何无限小的唯一，称为质点在该瞬 时所在位置的虚位移。 非自由质点系的虚位移是指在不破坏约束的情况下，质 点系中的各质点所具有的集合相容的任意的一组虚位移。 有两种分析质点