[2018年必威体育精装版整理]12最优控制2.ppt

§2.3 用变分法解最优控制问题 在控制变量的取值不受约束，即容许控制向量的集合可以充满整个函数空间，同时控制向量是时间的连续函数情况下，可以利用变分法求解最优控制问题。本节将讨论末端时刻固定和末端时刻自由时，最优解的必要条件。 一、可用变分法来解的最优控制问题 设控制系统的状态方程为下列时变非线性向量微分方程 初始条件 性能泛函取为 设要求的目标集为 则最优控制问题是：寻求最优解 和 使系统从已知初态转移到要求的目标集，并使给定的性能泛函达到极值。 举例 设一阶系统方程为 要求确定最优控制函数 及最优轨线 在 t=2时将系统转移到 x(2)=0，并使下列性能泛函极小 二、末端时刻固定时的最优解 最优控制问题可以归纳为如下一般形式 取极值的必要条件 欧拉方程： 横截条件： 推导过程 取极值的必要条件 欧拉方程： 横截条件： 正则方程 哈密顿函数的性质 若哈密顿函数不显含t，则有 1 末端受约束情况 定理2.3.1 对于如下最优控制问题 最优解的必要条件是: (1) 满足下列正则方程 其中 最优解的必要条件是: (2) 边界条件 最优解的必要条件是: (3) 极值条件 2 末端自由情况 定理2.3.2 对于如下最优控制问题 其中 固定， 自由。 最优解的必要条件是: (1) 满足下列正则方程 其中 最优解的必要条件是: (2) 边界条件 最优解的必要条件是: (3) 极值条件 3 末端固定情况 定理2.3.3 对于如下最优控制问题 最优解的必要条件是: (1) 满足下列正则方程 其中 最优解的必要条件是: (2) 边界条件 最优解的必要条件是: (3) 极值条件 举例1 设一阶系统方程为 性能指标取为 其中c0， 给定， 自由，求最优控制 举例2 被控系统方程为 由初态 出发，在 时转移到目标集 且使性能指标 为最小。求最优控制 和最优轨迹 三、末端时刻自由时的最优解 当末端时刻 自由时，末端状态 又可分为受约束、自由或固定。 1 末端受约束情况 定理2.3.4 对于如下最优控制问题 其中 自由 最优解的必要条件是: (1) 满足下列正则方程 其中 最优解的必要条件是: (2) 边界条件 最优解的必要条件是: (3) 极值条件 (4) 哈密顿函数在最优轨线末端满足 2 末端自由情况 定理2.3.5 对于如下最优控制问题 其中 自由 ， 自由。 最优解的必要条件是: (1) 满足下列正则方程 其中 最优解的必要条件是: (2) 边界条件 最优解的必要条件是: (3) 极值条件 (4) 哈密顿函数在最优轨线末端满足 3 末端固定情况 定理2.3.6 对于如下最优控制问题 其中 自由 最优解的必要条件是: (1) 满足下列正则方程 其中 最优解的必要条件是: (2) 边界条件 最优解的必要条件是: (3) 极值条件 (4) 哈密顿函数在最优轨线末端满足 举例 设被控系统为 性能指标为 其中 自由，求最优控制 使系统由 转移到 ，并使性能指标为极小。 * * 末端状态或受约束、或自由、或固定。此时，最优控制问题的实质是有两个等式约束的泛函条件极值问题。 定义如下哈密顿函数 最后一个积分项的分部积分为 状态方程 协态方程或共轭方程 正则方程是2n个一阶微分方程组。初始条件和横截条件正好为正则方程提供了2n个边界条件。 哈密顿函数的性质是：沿最优轨线，H对时间的全导数与对时间的偏导数相等；当H不显含t时，H沿最优轨线保持为常数。 *