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[2018年必威体育精装版整理]13重积分——直角坐标系下二重积分的计算
第二讲 直角坐标系下二重积分的计算 内容提要 直角坐标系下二重积分的计算 教学要求 理解和熟练掌握二重积分的计算。 预备知识: (1) 曲顶柱体体积: (2)在直角坐标下, x 二重积分 (3)平行截面面积为已知的立体的体积 如果积分区域为 (1)X-型区域 1.对积分区域的讨论: X-型区域的特点: 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 1.直角坐标系下二重积分的计算 如果积分区域为 (2)Y-型区域 Y-型区域的特点: 穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 可以用平行于坐标轴的直线 (3) 一般区域: 把 D 分解成有限个 x--型区域或 y--型区域 2.二重积分的计算公式: 通常写成: 如果积分区域为 [y--型]: 类似的有: 通常写成: 计算二重积分需要注意以下几点: (1)在计算二重积分时,首先根据已知条件确定 积分区域 D 是 x-型还是 y-型区域,由此确定将 二重积分化为先y后x的二次积分还是先x后y 的二次积分。 (2)当积分区域 D 既是x-型区域,又是y-型 区域时,把二重积分化为二次积分时,就有两种积 分顺序: 先y后x 先x后y (3)如果用平行于坐标轴的直线与积分区域 D 的 则必须分割区域 D 根据二重积分的性质 交线多于两个交点, 如图。 解法一:D 为 X--型区域 二重积分化为先 y 后 x 的二次积分 解法二:D 为 Y--型区域 二重积分化为先 x 后 y 的二次积分 解 将 D 化为 X--型区域 将 D 化为 Y--型区域 D 为 X--型区域 解:画出积分区域 D 的图形. 求出各个交点,如图 将 D 化为 X--型区域 将 D 化为 Y--型区域 这样计算量 就比 X--型区域的计算量大的多 因此,计算二重积分时,要适当的选择积分区域。 D 为 y-型区域 解 将 D 化为 X--型区域 无法用初等函数表示, 无法积分. 将 D 化为 Y--型区域 * * * *
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