[2018年必威体育精装版整理]14-第14讲函数项级数.ppt

求收敛半径的定理 你能证明吗? 有点像达朗贝尔判别法？ 由达朗贝尔判别法： 讨 论 要 证 * 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十四讲 函数项级数、幂级数 第三章 函数的极限与连续性 本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ε－X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。 第三章 函数的极限与连续性 第六节 幂 级 数 一. 函数项级数 二. 幂级数及其敛散性 三. 幂级数的运算 1. 函数项级数的定义 设有一函数序列 为定义在区间 I 上的函数项级数. 一、函数项级数 函数项级数 可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数 2. 函数项级数的敛散性 的收敛点 . 的发散点 . 它的收敛域, 记为 D . 它的发散域 . 3. 函数项级数的和函数 为函数项级数的和函数. 称函数项级数的前 n 项之和为其部分和： 不论级数在点 处是否收敛, 均可写出其部分和. 如果级数在点 处收敛, 则有 4. 函数项级数敛散性判别 可以适当地运用常数项级数的敛散性 判别法, 判别函数项级数的敛散性. 特别注意比较判别法的应用. 并求其收敛域. 即原级数在整个实数域上是绝对收敛的. 所求收敛域为 解 例1 的敛散性, 并求其收敛域. 这是等比级数. 故该级数的收敛域为: 要打开思路! 解 例2 几个问题 在级数一致收敛的条件下, 以上两个问题的 答案是: 肯定成立 . 5. 函数项级数的一致收敛性 一致收敛性的定义 由定义: 函数项级数 一致收敛则必收敛. 由于函数项级数的部分和函数以及和函数 都是定义在收敛域 D 上的函数, 故可以运用函 数极限中的柯西准则来判别函数项级数的一致 收敛性. 请看书中的柯西收敛原理! 魏尔斯特拉斯利用正项级数的比较判别法 创建了一个十分有用和十分重要的一致收敛判 别法——魏尔斯特拉斯判别法. 魏尔斯特拉斯判别法 关键! 证 例3 形如 的级数称为幂级数, 其中, 称为幂级数的系数. 1. 幂级数的定义 二. 幂级数及其敛散性 幂级数的一般形式为 当幂级数收敛时, 由 可知, 不论“和函数”多么复杂, 我们可以用多项 式来近似它. 当 n 的值充分大时, 这种代替可达 到相当的精度. 由此可联想到什么？ 2. 幂级数的敛散性 首先进行分析： 则由收敛的必要条件 , 有 而有极限的量必有界 , 故 它是收敛的, 结论: （ ） 收敛 以上分析结论的图示: （ ） 发散 若在外部一点收敛, 会怎么样？ 若在内部一点收敛, 会怎么样？ 不怎么样 推出 则由上面的分析可知, 所有满足 这与假设矛盾. 该矛盾说明: 当 原级数发散 . 由以上的分析发现： 既有 收敛点, 又有发散点, 则从坐标原点开始沿数 轴往右(左)走, 最初只可能遇到它的收敛点 , 然后就会只遇到它的发散点, 这两部分的分界 是关于坐标原点对称的, 幂级数在分 界点处可能收敛, 也可能发散. 现将以上的分析用图表示出来. （ ） 收 发 幂级数在一个以坐标原点为中心的对称区间 内收敛, 在此区间外发散 , 在区间端 点处幂级数可能收敛 , 也可能发散 . 当幂级数仅在 现在请你回想并归纳一下 我们刚才进行的分析工作, 给 出你的结论. 阿贝尔定理 幂级数敛散性定理 都存在一个非负 幂级数的收敛半径 我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数 的收敛半径. 如何求收敛半径？ *