[2018年必威体育精装版整理]16复变函数与积分变换综合练习1.doc

复变函数与积分变换综合练习（一） 一、填空题： 1. 设,则= -i . 2. 设在区域内解析,如果为常数,则在内,是 常数 . 3. 设 ,则 1+i . 4．设在单连通域内连续,且对于内任何一条简单闭曲线,都有,则在内 解析 .（摩勒拉定理） 5．若幂级数在处发散，那末该级数在处 发散 . 6．是函数的 4 阶零点. 7．幂级数的收敛半径为 . 8. 设则 -1 . 9. 函数的拉普拉斯变换为 . 10．函数在点的伸缩率为 1 . 二、 单项选择题 1．使得成立的复数是（ D ）. （A）不存在 （B）惟一的 （C）纯虚数 （D）实数 2．下列函数中为解析函数的是（ C ）. （A） （B） （C） （D） 3．设，则下列命题中不正确的是（ C ）. （A）在复平面上处处解析 （B）以为周期 （C） （D）是无界的 4．设：为顺时针方向，：为逆时针方向；则=（ B ）. （A） （B） （C） （D） 5．下列命题中，正确的是（ C ）. （A）若在区域内均为的共轭调和函数，则必有 （B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C）若在区域内解析，则为内的调和函数 （D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数 6．下列级数中，绝对收敛的级数是（ D ）. （A） （B） （C） （D） 7．设在圆环域内的洛朗展式为，为内绕 的任意一条简单闭曲线，那么（ B ）. （A） （B） （C） （D） 8. 设为函数的m阶极点,那么m=( C ). （A） 5; （B） 4; （C） 3; （D） 2. 9. 幂级数在内的和函数是 ( A ). （A）; （B）; （C）;（D）. 10. 设,则其拉普拉斯变换为( A ). （A）; （B） ; （C）; （D） 三、证明题 1．设，试证：. 2．设在单连通域内解析，且满足（），试证： （1）在内处处有. （2）对内任一周线，有. 3. 设在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单 闭曲线，它的内部全部含于D，试证：对于在D内但 不在C上的任意一点，有： 4． 设函数在z平面解析，且恒成立，试证必为常数. 5. 设a为的简单极点，且，证明： （提示：）. 6.设a为的孤立奇点，试证： (1)若是奇函数，则； (2)若是偶函数，则. 7．设L ，利用卷积定理证明: L ＝. 四、解答题 1. 设是解析函数的实部,求,并将 其表示成的函数形式. () ) ) ) 2. 设的解析函数，且有：，求函数. 3. 设函数在 内解析，且 试计算积分 ， 并由此得出积分 的值. 4. 计算积分，其中R为不等于 0，1，2的实数，且为逆时针方向. 5. 将函数在点展为Laurent级数. 6.（1）设z=a是函数的m阶零点， 求：； （2）设z=a是函数的n阶极点， 求：. 7. 计算实积分 8. 利用拉普拉斯积分变换求解微分方程： 9. 用拉普拉斯变换解微分方程：