[2018年必威体育精装版整理]1979年全国统一高考数学试卷(文科).doc

1979年全国统一高考数学试卷（文科） 　 一、解答题（共8小题，满分96分） 1．（9分）求函数y=2x2﹣2x+1的极小值． 　 2．（9分）化简[（1+sin2θ）2﹣cos4θ][（1+cos2θ）2﹣sin4θ]． 　 3．（9分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？ 　 4．（9分）叙述并证明勾股定理． 　 5．（14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 　 6．（14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3） 　 7．（18分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B． 求证： 　 8．（14分）过原点O作圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的轨迹． 　  1979年全国统一高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、解答题（共8小题，满分96分） 1．（9分）求函数y=2x2﹣2x+1的极小值． 考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 计算题． 分析： 求导，解方程f′（x）=0，分析零点两侧导函数的符号，确定该点是否为极值点，是极大值点还是极小值点，从而求得函数y=2x2﹣2x+1的极小值． 解答： 解：y′=4x﹣2=0 解得x=， y、y′随x的变化如下表： ∴x=时，y取极小值． 点评： 考查利用函数的导数研究函数的极值问题，属基础题． 　 2．（9分）化简[（1+sin2θ）2﹣cos4θ][（1+cos2θ）2﹣sin4θ]． 考点： 运用诱导公式化简求值；二倍角的正弦． 专题： 计算题． 分析： 把原式的两个中括号分别利用平方差公式化简后，然后利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化简，即可把原式化简． 解答： 解：原式=（1+sin2θ+cos2θ）（1+sin2θ﹣cos2θ）?（1+cos2θ+sin2θ）（1+cos2θ﹣sin2θ） =2[1﹣（cos2θ﹣sin2θ）]?2[1+（cos2θ﹣sin2θ）] =4（1﹣cos2θ）（1+cos2θ）=4sin22θ． 点评： 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化简求值，是一道中档题． 　 3．（9分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？ 考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 应用题． 分析： 溶质=溶液×百分比；分别求得甲容器中的纯酒精和水，乙容器中的纯酒精和水，让纯酒精相加后除以水的和即为将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比． 解答： 解：甲中含纯酒精（公斤），含水（公斤） 乙中含纯酒精（公斤），含水（公斤） 甲乙共含纯酒精 =公斤 甲乙共含水 =公斤 混合后，纯酒精与水比为： [m1v1（m2+n2）+m2v2（m1+n1）]：[n1v1（m2+n2）+n2v2（m1+n1）]． 点评： 考查函数模型的选择与应用，考查列代数式；得到纯酒精的和及纯水的和是解决本题的关键． 　 4．（9分）叙述并证明勾股定理． 考点： 分析法和综合法． 专题： 证明题． 分析： 勾股定理的内容为：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理．它有不同的证明方法，这里我们用面积法来证明． 解答： 证明：如图 左边的正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．右边的正方形是由1个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．因为这两个正方形的面积相等（边长都是a+b），所以可以列出等式，化简得a2+b2=c2． 下面是一个错误证法： 解：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理 证明：作两个全等的直角三角形， 设它们的两条直角边长分别为a、b（b＞a），斜边长为c． 再做一