[2018年必威体育精装版整理]1990年全国高中数学联赛试题及解答.doc

1990年全国高中数学联赛 第一试 (10月14日上午8∶00—10∶00) 一．选择题(本题满分30分，每小题5分) 1．设α∈(，),则(cos()cos(，(sin()cos(，(cos()sin(的大小顺序是 A．(cos()cos((sin()cos((cos()sin( B．(cos()cos((cos()sin( (sin()cos( C．(sin()cos((cos()cos((cos()sin( D．(cos()sin( (cos()cos((sin()cos( 2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式是( ) A．f(x)=x+4 B． f(x)=2-x C． f(x)=3－|x+1| D． f(x)=2+|x+1| F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是( ) A．在线段MN内部 B．在线段F1M内部或在线段NF2内部 C．点M或点N D．不能确定的 4．点集{(x，y)|lg(x3+y3+)=lgx+lgy}中元素个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．多于2 5．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式+的值是( ) A．2－1989 B．－1 C．1 D．以上答案都不对 6．已知椭圆+=1(ab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的( ) 二．填空题(本题满分30分，每小题5分) 1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则 +的最小值是 ． 2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是 ． 3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是 ． 4．对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+…+f(1990)． 5．设n=1990，则 (1－3C+32C－33C+…+3994C－3995C= ． 6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)． 三．(本题满分20分) 已知a，b均为正整数，且ab，sinθ=，(其中0θ)，An=(a2+b2)nsinnθ．求证：对于一切自然数n，An均为整数． 四．n2个正数排成n行n列 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=，a43=，a11+a22+……+ann． 五．设棱锥M—ABCD的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径． 第二试 (10月14日上午10∶30—12∶30) 一．(本题满分35分) 四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点． 二．(本题满分35分) 设 E={1，2，3，……，200}， G={a1，a2，……，a100}E． 且G具有下列两条性质： ⑴ 对任何1≤ij≤100，恒有 ai+aj≠201； ⑵ ai=10080． 试证明：G中的奇数的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数． 三．(本题满分35分) 某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1≤Ci≤39，1≤i≤n)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为Ci=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下． 1990年全国高中数学联赛(解答) 第一试 一．选择题(本题满分30分，每小题5分) 1．设α∈(，),则(cos()cos(，(sin()cos(，(cos()sin(的大小顺序是 A．(cos()cos((sin()cos((cos()sin( B．(cos()cos((cos()sin( (sin()c