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[2018年必威体育精装版整理]2009数值分析
完成以下各题。题目全部使用公式进行计算,不用程序代码。
叙述在数值运算中误差的来源?误差分析的原则是什么?
误差的来源
模型误差:对实际问题抽象,简化得到的数学模型与实际现象之间的误差
观测误差:参量观测带来的误差
截断误差:简化引起的误差
舍入误差:数据舍入成一定位数造成的误差
误差分析的原则:
避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法
避免两相近数相减
防止大数“吃掉”小数
注意简化计算步骤,减少运算次数
要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播
将Newton-Cotes求积公式、复化求积公式、Romberg算法、Gauss求积公式等几种数值积分法进行比较。
梯形求积公式和 Simpson求积公式虽然计算简单、使用方便 , 但是精度较差, 但对于光滑性较差的被积函数有时比高精度方法更为有效。尤其梯形公式对被积函数是周期函数的效果更为突出。n 7 时 , Newton- C otes公式是不稳定的, 而复化梯形公式和复化 Simpson公式在保留了低阶公式的优点, 又能获得较高的精度, 因此在实际计算中应用的最为广泛。利用二分技术得到的 Romberg方法的算法简单, 易于编程实现。当节点加密提高积分近似程度时, 前面计算的结果可以为后面所用, 对减少计算量很有好处, 并有比较简单的误差估计, 能得到若干积分序列, 如果在做收敛性控制时, 同时检查各行、各列 , 对于不同性态的函数可以用其中最快的收敛序列来逼近积分。高斯型求积公式的精度较高, 特别对计算无穷积分和瑕积分方面是其它方法所不能比拟的。但因为其节点不规则, 当节点增加时, 前面计算的函数值不能为后面所用, 上机计算时还要预先存入不同 N 值的节点值和系数表, 比较麻烦。
3. 对于一阶微分方程的初值问题数值解法的基本特点是采用“步进法”,将求解区间和微分方程进行离散化,建立求数值解的递推公式。现由已建立的递推公式,叙述改进的欧拉法的基本思想和计算步骤。
解:改进欧拉法的计算准确,是对欧拉法的改进
基本思想:用已建立的递推公式可知,该公式为隐式表达式,需要对它进行迭代求解,先用欧拉方法求得一个初步的近似值,记为称之为预报,预报值的精度不高,用它替代递推公式右端的,这样就建立了一个预报校正系统
预报:=+hf(xn,yn)
校正:=(n=0,1……N-1)
这就是采用一次迭代法的改进欧拉预估—校正法公式
同理,我们可以得到反复迭代的改进欧拉法预报—校正系统如下
=+hf(xn,yn)
=yn+(n=0,1……N-1,m=0,1……)
改进欧拉法的局部截断误差Rn+1 =() XnXn+1
由此可知改进欧拉法为二阶算法,而欧拉法是一阶算法,因此,它比欧拉法更精确
计算步骤:⑴:设步长为h,且有y’=f(x,y),y0=y(x0)
由预报公式=+hf(xn,yn)
将条件代入=+hf(x0,y0)可以得出
⑵:将代入校正公式可得
(3):重复步骤12进行迭代,可得微分方程的解
4.已知函数的一组数据。求分段线性插值函数,并计算的近似值。
解:取步长h=0.2,插值节点为xi=0+i/5(i=0,1,2…10)
因为1.5[1.4,1.6]取次区间为线性插值区间,其上的插值函数为:
P(x)=f(1.6)+f(1.4)
f(1.6)=0.2809 ,f(1.4)=0.3378 1.4x1.6
代入得P(1.5)=1.4045(1.5-1.4)-1.6892(1.5-1.6)=0.3094
f(1.5)=0.3077
5.函数在区间[-1,1]有近似分段二次插值多项式,在节点等距的情况下,使用多少个插值节点能够保证截断误差不超过。
解:f(x)=ex,f(x)=exe,x[-1,1],考察x0-h,x0,x0+h,及x=x0+th,1,
则
(因为t(t-1)(t+1)在取得最大值)
令得h=0.03
则插值节点数n=67.6 所以取68个节点
6. 已知,,,求一个不高于4次的插值多项式,并写出余项。
解:用Hermite插值求解
令
由
得根据方程组解得
插值多项式为
根据Hermite插值余项公式
得
7.有数据:,,用公式求最小二乘拟合方程。
解由题已知xi=1,2,3,4 yi=60,30,20,15
根据题意要求用公式y=aebx进行拟合,先对该公式进行变换,两边同时取对数得:lny=lna+bx
设s=lny A=lna t=x则
拟合数据(ti,si)的曲线认为S(t)=A+bt
将原始数据(xi, yi)根据变换改写成(ti,si)
ti=1,2,3,4 si=4.0943,3.4012,2.9957,2.7081
权函数取wi=1则
()==4 ()=()==10
()==12+22+32+42=30
()==13
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