[2018年必威体育精装版整理]2011第三章无穷级数.ppt

* 2 o x y 由 此时 , 2 ) 3 内 在 ￥ z ) ( z f 于是 * 仍有 , 1 2 1 z z 此时 ) ( z f 故 * 注意: 奇点但却不是函数 的奇点 . 本例中圆环域的中心 是各负幂项的 说明: 1. 函数 在以 为中心的圆环域内的洛朗级 数中尽管含有 的负幂项, 而且 又是这些 项的奇点, 但是 可能是函数 的奇点,也可能 的奇点. 不是 * 2. 给定了函数 与复平面内的一点 以后, 函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开 式 (包括泰勒展开式作为它的特例). 回答：不矛盾 . 朗展开式是唯一的) 问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾? (唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛 * 解 例3 * 例4 解 ? ￥ = - + - - = 0 1 1 ) 2 ( 2 ) 1 ( k k k k z * 例5 内的洛朗展开式. 解 * * * 洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是 一个普通幂级数; 思考题答案 是一般与特殊的关系. 洛朗级数的收敛区域是圆环域 洛朗级数与泰勒级数有何关系? 思考题 . 级数了 洛朗级数就退化为泰勒 * 3.6 孤立奇点的分类 定义：若函数f (z)在点z0处不解析（或没有定义），但在点z0的某个空心邻域 内解析，则称点z0为f (z)的孤立奇点。 一、孤立奇点的概念 例1 是函数 的孤立奇点. 是函数 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点. * 例2 指出函数 在点 的奇点特性. 解 即在 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 不是孤立奇点. 所以 ， 因为 0 1 lim = p ￥ ? k k * 定义 设z0是解析函数f (z)的孤立奇点，f (z)在点z0的某去心邻域 内的罗朗展式为 (1)若展式中不含有z-z0的负幂项，则称z0为f (z)的可去奇点； (2)若展式中只含有z-z0的有限个负幂项(即存在m＞0，使a-m≠0，而当n＞m时，a-n=0)，则称z0是f (z)的极点，称m为极点z0的阶，按照m=1或m＞1，称z0是f (z)的单极点或m阶的极点； (3)若展式中含有z-z0的无穷多个负幂项，则称z0为f (z)的本性奇点。 二、孤立奇点的分类 * 其和函数 为在 解析的函数. 说明: (1) (2) 无论 在 是否有定义, 补充定义 则函数 在 解析. 1．可去奇点 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末孤立奇点 称为 的可去奇点. 1) 定义 , ) ( 0 的孤立奇点 若是 z f z . ) ( ) ( ) ( 0 0 1 0 L L + - + + - + = k k z z a z z a a z f , ) ( 0 0 a z f = ? í ì = 1 = 0 0 0 , , ) ( ) ( z z a z z z F z f * 2) 可去奇点的判定 (1) 由定义判断: 的洛朗级数无负 在 如果 幂项则 为 的可去奇点. (2) 判断极限 若极限存在且为有限值, 则 为 的可去奇点. 如果补充定义: 时, 那末 在 解析. 例3 中不含负幂项, 是 的可去奇点 . * 例4 说明 为 的可去奇点. 解 所以 为 的可去奇点. 无负幂项 另解 的可去奇点. 为 * 2. 极点 其中关于 的最高幂为 即 级极点. 那末孤立奇点 称为函数 的 或写成 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 的 负幂项, 1 0 1 2 0 2 0 ) ( ) ( ) ( ) ( - - - - - - - + - + + - = z z a z z a z z a z f m m L L + - + + ) ( 0 1 0 z z a a ) 0 , 1 ( 1 3 - m a m * 说明: 1. 2. 特点: (1) (2) 的极点 , 则 为函数 如果 例5 有理分式函数 是二级极点, 是一级极点. L + - + - + = + - + - - 2 0 2 0 1 ) ( ) ( ) ( z z a z z a a z g m m m * 2)极点的判定方法 的负幂项为有 的洛朗展开式中含有 限项. 在点 的某去心邻域内 其中 在 的邻域内解析, 且 (1) 由定义判别 (2) 由定义的等价形式判别 (3) 利用极限 判断 . * 本性奇点 3. 如果