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2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 排队系统的基本模型 (5) 排队服务系统的结构 单队列单服务台系统 单队列多服务台系统 多队列单服务台系统 多队列多服务台系统 2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 排队系统的基本模型 (6) 排队服务系统基本假设 已知顾客到达率：单位时间内到达系统的平均顾客数； 已知服务率：系统忙时单位时间内服务的平均顾客数。 (7) 排队服务系统求解的基本问题 系统内的平均顾客数： 等待队列中的顾客数 正在接收服务的顾客数 每个顾客的平均时延 在队列中的等待时间 接受服务的时间 李特(Little)定理 假定有一单一服务系统，顾客1，顾客2，…， 达到时刻为 第i次的到达间隔 第i个顾客的服务时间为 第i个顾客的等待服务时间为 第i个顾客在系统中的总时间为 第i个顾客的离去时刻为 2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 李特(Little)定理(续) 若t时刻系统中的顾客记为 的变化特性曲线的一个示例可形象地如下图所示 李特(Little)定理(续) n个顾客在系统中 总的停留时间为 平均停留时间为 2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 李特(Little)定理(续) 记系统在t之前累计的顾客达到次数 在t之前累计的顾客离去次数 在t时刻系统中的顾客数为 上述各函数变化曲线的一个示例可表示为： 2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 李特(Little)定理(续) 在0~tn+1 时间内系统中的平均顾客数：平均队列长度Ln 考察 的变化特性 在 时刻， 提升1个单位 在 时刻， 降低1个单位 顾客i对积分 贡献的面积为 因此 2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 李特(Little)定理(续) 因此 若存在极限 可得有名的李特(Little)定理 (有严格的数学证明) 即：系统的平均队长等于到达率与平均停留时间的乘积。 2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 李特(Little)定理(续) Little定理的应用 Little可应用于某个局部系统，此时的平均队列长度和平均等待时间是在该局部系统的相应参数； Little也可应用于一个完整的系统，此时的平均队列长度和平均等待时间相应地是在该系统中的参数。 示例：分析在一个有n个节点网络系统的平均时延与平均队列长度的关系，假定第i个节点的分组到达率为 (1) 就某个节点i来说，其平均时延 与队列长度 的关系为： (2) 就整个网络系统来说，其平均时延 (分组逗留在网络中的时间)与队列长度 (网络中总的分组个数)间的关系为 其中 2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 李特(Little)定理(续) 示例1：设某服务大厅共可容纳N个客户，有K个服务窗口 N K，假定服务大厅始终是充满顾客的，已知每个顾客在服务窗口上的平均服务时间为X，求顾客的平均停留时间。 对总的服务窗口应用Little定理，可得到达率 进一步，对整个系统应用Little定理，得 2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 李特(Little)定理(续) 示例2：在示例1中，已知顾客达到率已知为 ，若到达大厅时发现服务窗全被占满即离开大厅，分析损失顾客的概率 。 记平均忙的服务窗口数为 到达率中没有损失的部份可以记为 因为每个窗口的平均服务时间为 因此系统中的平均顾客数为 损失顾客的概率为 因为一定有 因此可得损失顾客概率的下界 2.通信网络分析的数学基础 华南理工大学 李特(Little)定理(续) 示例3：利用示例2的结