[2018年必威体育精装版整理]2012届总复习-走向清华北大--13函数应用.ppt

[答](1)经过x年后该城市的人口总数y万人与x的函数关系式为y=100(1+1.2%)x;(2)10年后该城市的人口总数约为112.7万人;(3)大约经过15年该城市人口将达到120万人;(4)如果20年后该城市人口不超过120万人,年自然增长率应控制在0.9%. [反思感悟]本题是有关增长率的问题,在实际应用中,有关人口增长?银行利率?细胞分裂等增长问题常化为指数函数的模型.对于变化率的问题有以下公式: (1)增长率问题:变化前的量(1+增长率)时间=变化后的量; (2)递减率问题:变化前的量(1-递减率)时间=变化后的量. 类型四 对数函数模型 解题准备:对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型叫做对数函数模型.对数函数模型增长的特点是随着自变量的增大(底数a1),函数值增大的速度越来越慢. 【典例4】2008年9月25日,我国成功发射了“神舟”七号载人飞船,这标志着中国科技又迈出了具有历史意义的一步.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为: (其中k≠0).当燃料重量为 吨(e为自然对数的底数,e≈2.72)时,该火箭的最大速度为4 km/s. (1)求火箭的最大速度y(千米/秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式y=f(x); (2)已知该火箭的起飞重量是544吨,则应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞行速度达到8千米/秒,顺利地把飞船发送到预定的轨道? [分析]本题的函数模型已经给出,只需根据题设确定出参数,然后根据函数关系及题设进行求解. 类型五 幂函数模型 解题准备:幂函数模型:能用幂函数表达的函数模型叫做幂函数模型,幂函数模型中最常见的是二次函数模型. 【典例5】某农药厂今年生产农药8000吨,计划5年后把产量提高到14000吨,问平均每年需增长百分之几? 错源一缺乏对一次(二次)函数最高次项的系数的关注 【典例1】某科学家在一试验中发现两个变量x,y之间具有一次函数关系,其中x的范围为[-2,6],y的范围是[-11,9],试求y关于x的函数关系式. [剖析]错解对函数一次项的系数关注不够,只考虑了k0的情况,而忽视了k0的情况,因而导致出错. 错源二 运算中忽视实际取整问题 【典例2】某公司在甲,乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2,和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( ) A.45.606 B.45.6 C.46.8 D.46.806 [正解]B设甲地销售x辆.则乙地销售(15-x)辆,则总利润L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+45.606.根据二次函数图象和x∈N*,得当x=10时,获得最大利润L=-0.15×102+3.06×10+30=45.6万元.选B. [答案]B 技法一 寻找模型法 【典例1】已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)且单调递增,满足f(4)=1,f(xy)=f(x)+f(y), (1)证明f(1)=0; (2)试证f(xn)=nf(x)(n∈N). [解题切入点]由f(xy)=f(x)+f(y)联想logaxy=logax+logay(x0,y0). [证明](1)令x=1,y=4,则f(4)= f(1×4)=f(1)+f(4).所以f(1)=0. (2)因为f(xy)=f(x)+f(y), 所以f(xn)= 技法二 整体思想 第*页 共 57 页 第十三讲函数模型及其应用 回归课本 1.三种常见的函数模型 (1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同.随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,表现为指数爆炸.随着x的增大,y=logax(a1)的增长速度会越来越慢. (2)随着x的增大,y=ax(a1)的图象逐渐表现为与y轴趋近平行.而y=logax(a1)的图象逐渐表现为与x轴趋近平行. (3)当a1,n0时,对于函数y=xn,y=ax,y=logax在x∈(0,+∞)时,函数y=ax的增长速度远远大于函数y=xn的增长速度.而函数y=xn的增长速度远远大于函数y=logax的增长速度.因此总会存在一个x0;当xx0时,总有axxnlogax. 2.形如f(x)=x+ (a0,x0)的函数模型有广泛应用,利用基本不等式可求其最小值为 3.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤是:第一步,审题,设出变量;第二步,根据所给模型,列出函