[2018年必威体育精装版整理]2012年西西辅导班高中数学竞赛模拟训练.doc

2012年高中数学模拟试题4（西西辅导班） 填空（每题8分，共64分） 解： 等价下列： 张卡片在 个人中任意排列，共有 种不同的排列方法。 可以证明， 张卡片在 个人中任意排列时，没有一个人取到自己号码的排列方法数，共有 种。 证明：编号1到n总共n个人中没有一个取到自己帽子的排列种数记为，那么易得n-1,n-2个人没有一个取到自己帽子的排列总数分别为，则显然, 当 ，即恰好有 个人取到自己的号码时，相当于先从 人中确定 人，让他们取到自己的号码，这有 种取法，再让剩下的 张卡片在剩下的 个人中排列，要求没有一个人取到自己的号码，有 种排列方法。所以， ，即恰好有 个人取到自己的号码的概率为 ， 。 这样，我们就求出了 的概率分布。根据概率分布的性质，可知有下列恒等式 。 所以， 的数学期望为 。 下面求 的方差，因为 。 所以， 的方差为 。 这个结果很奇妙，就是说，不管 是多少， 个人中恰好取到自己号码的卡片的人数的平均值总是等于 ，方差也总是等于 。 备注：留作习题： 解 建立空间直角坐标系，不妨设正四面体的一个顶点就是原点 ，与它距离为 的那个平面就是 面。设正四面体其余三个顶点 的坐标为 ，，，设正四面体边长为 （ 不妨设其中 ）。 因为向量 ，， 的模长都等于 ，而且夹角都是 ，所以可列出方程组： 解这个方程组，可求得满足 的解为 或 。 可见，正四面体的边长为 。 解答题（共56分） 显然成立！ 将