行列式和体积MIT1806SC线性代数秋2011.PDF

大家好，欢迎收看线性代数习题课。 我相信你们已经越来越熟悉矩阵的行列式了。我们在上一节课中， 还学习了矩阵行列式的几何意义，一个矩阵行列式的绝对值 也就是等于该矩阵行向量所张成的平行六面体的体积。 今天我们就要用这个性质来解决如下的例题。我们要计算一个四面体T的体积。 这个四面体由它的四个顶点，完全决定，分别是原点，A1、A2和A3， 它们的坐标由这些数字给出。我们首先要计算T的体积。随后如果A1和A2 不动，但把A3移动到新的一点A3A3的坐标由如下给出，（‐201，‐199，104） 我们要重新计算T的体积。这里我们先来复习一下四面体的体积公式， 一个四面体的体积等于1/3乘以底面积再乘以高。 你可以选取任何一面作为底面积，那么想对应的顶点就成为高。 这里以方便起见，我们将选择三角形OA1A2为底面，那么相应的A3就成为顶点。 所以T的体积就由1/3 乘以三角形OA1A2的面积。 这表示它的面积，再乘以高，由字母H表示。好，我们要用行列式的方法来计算 T的体积。但是我们知道一个矩阵的行列式 是通过一个平行六面体的体积来联系的， 但是现在我们只有一个四面体。所以第一步应该是找到 一个平行六面体，使得T可以和该平行六面体联系起来。 现在请你暂停这个视频，尝试在这个图片上画出平行六面体。 稍后我将回来并介绍我的解法。我希望你已经成功地找到了那个平行六面体。 我们来观察这个四面体T，它的四个顶点分别是原点，A1、A2和A3， 观察到这三条边，OA1OA2和OA3全部相交于原点O， 那么同时这三条边，还可以张成一个平行六面体。 这就是我们所要考虑的平行六面体，我们来看这边的这个图片。 蓝色部分为原来的四面体T，红色部分为我们要考虑的平行六面体，我记为P， 可以看到这个平行六面体由边OA1、OA2和OA3张成。 它完全包含了原来的四面体T，下面我们要考虑， T的体积与P的体积之间的关系。它们的关系 由如下的式子给出。我们先来考虑T的体积。正如我们刚才所说的， T的体积等于1/3的底面积乘以高，底面积由这个三角形OA1A2的面积给出。 高由顶点A3到底面的距离给出。那么平行六面体P的体积又是什么呢？ 平行六面体P的体积由底面积乘以高给出。 乘以高。同样我们可以选取任何一面作为底面积。 但是这里我们将选取这个平行四边形为底面积。 原因很简单，这个平行四边形包含了我们所选取的这个四面体的底面积。另外 你可以看到这个平行四边形就是由两倍的这个三角形所构成。 所以底的面积，也就是等于2倍的三角形OA1A2的面积，再乘以高， 那么如果选取了这个平行四边形作为底面的话， A3就变成了这个平行六面体的顶点，高就是 A3到这个底面的距离，但这和A3到三角形的距离是一致的。 也就是说这里的高，等于这里的H。 现在你可以比较这两个式子，你可以看得出来，T的体积 也就是等于1/6的P的体积。我们找到了平行六面体P， 并且我们已把T的体积与P的体积联系起来。下面我们只需要求P的体积。 根据行列式的几何意义，我们知道P的体积， 也就是等于一个3乘以3矩阵行列式的绝对值。不要忘记这个绝对值符号。 该矩阵就由这三边作为行向量组成。 那么因为每一边的起点都是原点，所以我们只 需要把这三个顶点的坐标放入矩阵即可。也就是2、2、‐1，1、3、0，‐ 1、1、4。你可以用任意一种方法计算这个3乘以3矩阵的行列式。 所得结果应该为12。那这就是这个平行六面体P的体积。 回到四面体T，我们知道四面体T的体积就应该等于1/6  这个数值，也就是2。这样我们就得到了四面体T的体积。 下面我们来考虑这个问题的第二部分。现在我要保证A1和A2不动， 但是我要把原来的顶点A3移动到一个新的顶点A3， 由 （‐201、‐199、 104）给出。你可以从这个点的坐标看出，该点离原点非常的远。 我们将无法在这个图片上准确地画出该点，但是你可以想象 这个尖部将变得更为尖锐，也就是说整个四面体看起来像一个针状， 尽管如此，我们还是可以计算它的体积。通过同样的方法，所以我们 用同样的方法计算T的体积。T的体积， 这个新的四面体，我记为T。T‘的体积，应该等于1/6  乘以一个矩阵的行列式绝对值。那么现在这个矩阵前两行是不变的，2、2、‐ 1，1、3、0，第三行将变为这个新的顶点的坐标，也就是‐201、‐199、104， 你可以直接计算这个矩阵的行列式。 如果你的计算没有错误的话，答案还应该是2。 而实际上我并不需要再重复计算该矩阵的行列式， 这个结果可以直接从A3到A3‘的变化中得出。我们来观察这个新的A3’， 你注意到新的第三行，实际上等于原来的第三行减去100倍