[2018年必威体育精装版整理]2013版高中全程复习方略配套课件：平面向量的数量积(人教A版·数学理)浙江专用.ppt

平面向量的夹角的求法 【方法点睛】 求向量夹角的方法 （1）利用向量数量积的定义知，cosθ= 其中两向量夹 角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b,|a|,|b|或者找出这三个量之间的关系. （2）利用坐标公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cosθ= . (3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用 正余弦定理，三角形的面积公式等求解. 【提醒】a·b0 0°≤θ90°(a·b0 90°θ≤180°)， 即a·b0(0)是θ为锐角（钝角）的必要而不充分条件. 【例3】（1）(2011·湖北高考）若向量a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b与a-b的夹角等于 ( ) （A）- （B） （C） （D） （2）(2011·浙江高考）若平面向量 满足 且以向量 为邻边的平行四边形的面积为 则 的夹角 θ的取值范围是 . 【解题指南】（1）先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角. (2)利用平行四边形的面积可得出sinθ的范围，进而求出夹角θ的范围. 【规范解答】（1）选C.∵2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，a-b =(1,2)-(1,-1)=(0,3)， ∴(2a+b)·（a-b)=3×0+3×3=9, |2a+b|=3 ,|a-b|=3, ∴cosθ= ,又θ∈［0，π］，∴θ= . (2)由S= sinθ=| |sinθ= 可得， sinθ= ≥ ,故θ∈［ , ］. 答案：［ , ］ 【互动探究】若将本例（1）题干中向量a改为（1，k），k≠ -1，且2a+b与a-b的夹角为锐角，则如何求实数k的取值范围？ 【解析】2a+b=(3,2k-1),a-b=(0,k+1)， ∵k≠-1,∴2a+b、a-b均不是零向量，且夹角为锐角， ∴（2a+b)·（a-b)0， 即（2k-1)(k+1)0,∴k-1或k , 当2a+b与a-b共线时，3(k+1)-(2k-1)×0=0, ∴k=-1.又k≠-1,∴2a+b与a-b不共线， 故k的取值范围为：k-1或k . 【反思·感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cosθ,进而求θ，要注意θ∈［0,π］. 【变式备选】已知A（2，0），B（0，2），C（cosθ，sinθ），O为坐标原点， （1） ，求sin2θ的值. (2)若| |= ,且θ∈(-π,0),求 的夹角. * 第三节　平面向量的数量积 三年27考 高考指数:★★★★★ 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角. 1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点； 2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主. 1.平面向量的数量积 （1）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 θ，则向量a与b的数量积是数量 ，记作a·b，即 a·b= . |a||b|cosθ |a||b|cosθ （2）向量的投影 设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是 ；向量b在a方向上的投影是 . （3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与 的乘积. |a|cosθ |b|cosθ b在a的方向上的投影|b|cosθ 【即时应用】 （1）已知正三角形ABC的边长为1，则 ① · = ； ② 方向上的投影为 . （2）已知|a|=1，|b|=2，a·b=1，则向量a、b的夹角θ等于 . 【解析】（1）① =| || |cosA=1×1×cos60°= . ② 方向上的投影为| |cosA=1·cos60°= . （2）∵cosθ= = = , 又0°≤θ≤180°,∴θ=60°. 答案：（1）① ② （2）60° 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示