[2018年必威体育精装版整理]2013版高中全程复习方略配套课件：椭圆(人教A版·数学理)浙江专用.ppt

化简得18x2-16 xy-15=0. 将 所以x0.因此，点M的轨迹方程是 18x2-16 xy-15=0(x0). 【反思·感悟】1.依据题设条件求椭圆的离心率，其关键是依据题设条件寻找关于a、c的一个等式，解方程求出离心率的值；有些题目求离心率的范围，解题思路也是如此； 2.求轨迹方程的方法是最基本的方法，应用已知条件中的等式求方程，但要注意同解变形，注意变量的取值. 【变式训练】定义：离心率 的椭圆为“黄金椭圆”， 已知E： （ab0）的一个焦点为F(c,0)(c0)，则E为“黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的( ) (A)既不充分也不必要条件 (B)充分且必要条件 (C)充分不必要条件 (D)必要不充分条件 【解析】选B.若E为黄金椭圆，则 ∴b2=a2-c2=a2-( )2a2= a2=ac 所以a,b,c成等比数列. 若a、b、c成等比数列，则b2=ac ?a2-c2=ac?e2+e-1=0，又0e1, 所以e= ，故E为黄金椭圆. 【变式备选】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆 E： （ab0）的左顶点，B，C在椭圆E上， 若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°， 则椭圆E的离心率等于_______________. 【解析】依题设知：点C的坐标为( )， 又因为点C在椭圆E上，所以有 解得a2=9b2， 因此，a2=9(a2-c2)，即 所以椭圆E的离心率等于 . 答案： 直线与椭圆的位置关系 【方法点睛】 1.直线与椭圆位置关系判断的步骤 第一步：联立直线方程与椭圆方程； 第二步：消元得出关于x（或y）的一元二次方程； 第三步：当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离. 2.直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B（x2，y2）,则 3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 点差法 中点弦或弦的中点 根与系数的关系、弦长公式 弦长 涉及问题 处理方法 【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 【例3】(2011·北京高考）已知椭圆G: 过点(m,0)作 圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点. （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值. 【解题指南】（1）根据标准方程可求出焦点坐标和离心率； （2）先讨论切线l斜率不存在时的两种情况，当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及弦长公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值. 【规范解答】（1）由已知得a=2,b=1，所以 所以椭圆G的焦点坐标为(- ,0),( ,0)，离心率为 （2）由题意知，|m|≥1. 当m=1时，切线l的方程为x=1，点A,B的坐标分别 为(1, ),(1,- ),此时|AB|= ； 当m=-1时，同理可得|AB|= ； 当|m|1时，设切线l的方程为y=k(x-m). 由 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0. 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 又由l与圆x2+y2=1相切， 得 即m2k2=k2+1. 所以 由于当m=±1时，|AB|= ， |m|1时, 当且仅当m=± 时，|AB|=2. 所以|AB|的最大值为2. 【反思·感悟】1.通过本题的解答可知，已知椭圆的标准方程，可直接求出椭圆的焦点坐标、离心率，也可求出其顶点坐标、长轴长、短轴长等.求直线被椭圆截得的弦长的最值，关键是求出弦长的解析式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值； 2.在求切线方程时，要注意讨论直线的斜率存在与不存在两种情况. 【变式训练】若F1、F2分别是椭圆 (ab0) 的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且 |PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2 . (1)求出这个椭圆的方程； (2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的 两点A、B，使 (其中O为坐标原点)？ 若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由． 【解析】(1)依题意，得2a=4,2c=2 ， 所以a=2,c= ，∴ ∴椭圆的方程为 (2)显然当直线l的斜率不存在，即x=0时，不满足条件． 设l的方程为y=kx+2， 由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点， 设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 消去y并整理，得