[2018年必威体育精装版整理]2014届高考数学一轮必备考情分析学案：第十五单元《矩阵与变换》.doc

15.1矩阵与变换 考情分析 1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质． 2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题． 1．乘法规则 (1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵的乘法规则： [a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]． (2)二阶矩阵与列向量的乘法规则： ＝. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ＝ [来源:学科网ZXXK] (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C. 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换 恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换． 3．逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵； (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1. 4．特征值与特征向量 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量． 一　矩阵与变换 【例1】求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝，N＝. 解　MN＝＝. 设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P(x，y)， 则＝＝， 于是x′＝x，y′＝x＋， 代入2x′2－2x′y′＋1＝0，得xy＝1. 所以曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1. 【1】 四边形ABCD和四边形A′B′C′D′分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A(－1,2)，B(3,2)，C(3，－2)，D(－1，－2)，A′(－1,0)，B′(3,8)，C′(3,4)，D′(－1，－4)，求将四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′的变换矩阵M. 解　该变换为切变变换，设矩阵M为， 则＝.所以－k＋2＝0，解得k＝2. 所以M为. 二　矩阵的乘法与逆矩阵【例2】已知矩阵A＝，B＝，求(AB)－1. 解　AB＝ ＝. 设(AB)－1＝，则由(AB)·(AB)－1＝， 得 ＝，即＝， 所以解得故(AB)－1＝. 【2】 已知矩阵A＝，B＝，求矩阵AB的逆矩阵． 解　设矩阵A的逆矩阵为A－1＝，则 ＝＝， 解之得，a＝1，b＝－2，c＝0，d＝1，所以A－1＝. 同理得，B－1＝.又(AB)－1＝B－1A－1， 所以(AB)－1＝＝. 三　矩阵的特征值与特征向量 【例3】已知矩阵M＝，其中aR，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)，求： (1)实数a的值； (2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量． 解　(1)由＝， 所以2－2a＝－4.所以a＝3. (2)由(1)知M＝，则矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4. 令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4. 当λ＝－1时，x＋y＝0. 所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为. 当λ＝4时，2x－3y＝0. 所以矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为. 【3】 已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝，求矩阵A. 解　由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1， 即＝－1×，得 同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1. 因此矩阵A＝. 【例】设矩阵M＝(其中a＞0，b＞0)． (1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1； (2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值． [] (1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝， 则MM－1＝.又M＝， 所以＝， 所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1， 即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝， 故所求的逆矩阵 M－1＝.(5分) (2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则 ＝，即又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1， 则＋b2y2＝1为曲线C的方程． 又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故 又a＞0，b＞0，所以(10分) 1．曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．解　设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y