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[2018年必威体育精装版整理]2014高考数学黄金配套练习9-8理
2014高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题
1.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A. B.
C.|a| D.-
答案 B
解析 ∵y2=ax,∴p=,即焦点到准线的距离为,故选B.
2.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B.3
C. D.
答案 A
解析 记抛物线y2=2x的焦点为F,准线是直线l,则点F的坐标是(,0),由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离,因此所求的最小值等于=,选A.
3.已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点A(,4),则|PA|+|PM|的最小值是( )
A. B.4
C. D.5
答案 C
解析 设抛物线y2=2x的焦点为F,则F(,0),又点A(,4)在抛物线的外侧,抛物线的准线方程为x=-,
则|PM|=d-,又|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=5,所以|PA|+|PM|≥.故选C.
4.与直线4x-y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是( )
A.4x-y+1=0 B.4x-y-1=0
C.4x-y-2=0 D.4x-y+2=0
答案 C
解析 y′=4x=4∴x=1,y=2,过(1,2)斜率为4的直线为y-2=4(x-1).
5.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=( )
A.4 B.8
C.8 D.16
答案 B
解析 由抛物线的定义得,|PF|=|PA|,
又由直线AF的斜率为-,可知∠PAF=60°.
△PAF是等边三角形,∴|PF|=|AF|==8.
6.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
答案 B
解析 抛物线的焦点F(,0),所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px=2p(y+)=2py+p2,所以y2-2py-p2=0,所以=p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,准线方程为x=-1,故选B.
二、填空题
7.如果直线l过定点M(1,2),且与抛物线y=2x2有且仅有一个公共点,那么l的方程为________.
答案 x=1或y=4x-2
解析 当过M(1,2)的直线的斜率不存在时,直线方程为x=1,与抛物线有一个交点;当M(1,2)的直线的斜率存在时,设直线方程:y=k(x-1)+2,与抛物线方程联立得2x2-k(x-1)-2=0,此时Δ=0,解得k=4,故直线方程为y=4x-2.故x=1或y=4x-2.
8.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于________.
答案 8
解析 抛物线的准线方程为x=-1,则AB中点到准线的距离为3-(-1)=4.由抛物线的定义得|AB|=8.
9.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=________.
答案 2
解析 设点A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45°的直线方程为y=x-,把x=y+代入y2=2px得,y2-2px-p2=0,∵|AB|=8,∴|y1-y2|=4,∴(y1+y2)2-4y1y2=(4)2,∴(2p)2-4×(-p2)=32,又p0,∴p=2.
10.抛物线y=x2上距离点A(0,a)(a0)最近的点恰好是其顶点,则a的取值范围是________.
答案 0a≤1
解析 设抛物线上一点P(x,y),
则|PA|2=x2+(y-a)2=2y+y2-2ay+a2
=y2-2(a-1)y+a2=[y-(a-1)]2+2a-1.
∵y≥0,∴当a-1≤0,即a≤1时,|PA|2有最小值,
而|PA|有最小值,此时y=0,故0a≤1.
11.若椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,抛物线y2=2bx的焦点为F,若=3,则此椭圆的离心率为________.
答案
解析 ∵F(,0),F1(-c,0),F2(c,0)且=3,
∴=(+c,0),=(c-,0),∴+c=3c-,即2b=2c.∴b=c.∴a2=b2+c2=2c2.
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